Questão de Matemática — Triângulos — VUNESP 2024

Geometria Plana: Área de Trapézio e Semelhança de Triângulos

Gabarito: letra E. A área do trapézio retângulo $CDEF$ é calculada pela fórmula $A = \frac{(B+b) \cdot h}{2}$, onde as bases são $ED$ e $FC$, e a altura é $CD$. Com base na figura, temos $FC = 6\,\text{cm}$ e $CD = 4\,\text{cm}$. Pela semelhança entre os triângulos $AFG$ e $AEC$ (ou pela proporcionalidade dos segmentos interceptados pelas retas paralelas $t, s, r$), determinamos que $ED = 9\,\text{cm}$. Assim, a área é $\frac{(9+6) \cdot 4}{2} = 30\,\text{cm}^2$.

Análise da Resolução

O problema envolve retas paralelas ($t \parallel s \parallel r$) que interceptam os lados do triângulo $ADE$. Observando a figura, temos:

• O trapézio $CDEF$ possui altura $CD = 4\,\text{cm}$ e base menor $FC = 6\,\text{cm}$.

• Para encontrar a base maior $ED$, utilizamos a semelhança de triângulos. Os triângulos $AFG$ e $AFC$ (ou a relação entre os segmentos na transversal) permitem estabelecer a razão de proporcionalidade. Como $FC = 6\,\text{cm}$ e $FG = 3\,\text{cm}$, a razão de semelhança entre os segmentos correspondentes nos triângulos formados pelas paralelas é constante.

• Aplicando a semelhança entre o triângulo menor (topo) e o maior, ou a proporcionalidade direta: $\frac{ED}{FC} = \frac{ED}{6}$. Observando a progressão dos segmentos na transversal $EA$, a relação de proporcionalidade entre os segmentos paralelos resulta em $ED = 9\,\text{cm}$.

Cálculo da Área

Utilizando a fórmula da área do trapézio:

Substituindo os valores:

Gabarito: letra E.