Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 107 grupos (alternativa B).

A ideia por trás

Este é um problema de sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. A ideia é transformar as informações do enunciado em duas equações: uma que relaciona o total de funcionários com o número de grupos de cada tipo, e outra que relaciona a diferença entre os totais de funcionários dos dois tipos de grupo. Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Nesta questão, as incógnitas são o número de grupos de 3 e o número de grupos de 9; a partir deles calculamos o total de grupos.

O que a questão dá

• total de funcionários = 693

• grupos de 3 funcionários e grupos de 9 funcionários

• total nos grupos de 9 excede o total nos grupos de 3 em 423

O que queremos: o total de grupos formados

Passo 1 — Definir as incógnitas

Precisamos nomear as quantidades desconhecidas para poder montar as equações. Chamaremos de x o número de grupos de 3 funcionários e de y o número de grupos de 9 funcionários.

Passo 2 — Montar a equação do total de funcionários

O total de funcionários é a soma dos funcionários de todos os grupos. Cada grupo de 3 contribui com 3 pessoas, e cada grupo de 9 contribui com 9 pessoas. Então o total é 3x + 9y, que deve ser igual a 693.

Por que esta fórmula: É a tradução direta do enunciado: o número de funcionários em grupos de 3 é 3 vezes o número de grupos de 3, e o número de funcionários em grupos de 9 é 9 vezes o número de grupos de 9. A soma desses dois totais é o total geral.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: grupos de 3 funcionários · $x$ = passo 1 · $9$ = enunciado: grupos de 9 funcionários · $y$ = passo 1 · $693$ = enunciado: total de funcionários

Passo 3 — Montar a equação da diferença

O enunciado diz que o total de funcionários nos grupos de 9 (que é 9y) excede em 423 o total nos grupos de 3 (que é 3x). Isso significa que 9y é maior que 3x, e a diferença é 423.

Por que esta fórmula: A palavra 'excede' indica subtração: o maior menos o menor é igual à diferença. Como o total nos grupos de 9 é maior, escrevemos 9y - 3x = 423.

De onde vem cada valor: $9y$ = passo 2: total de funcionários nos grupos de 9 · $3x$ = passo 2: total de funcionários nos grupos de 3 · $423$ = enunciado: excede em 423

Passo 4 — Simplificar as equações dividindo por 3

As duas equações têm coeficientes múltiplos de 3. Dividir todos os termos por 3 deixa os números menores e mais fáceis de trabalhar, sem alterar a solução.

Por que esta fórmula: Dividir uma equação inteira por um mesmo número não muda as soluções, pois é uma operação equivalente. Isso simplifica os cálculos seguintes.

De onde vem cada valor: $x + 3y = 231$ = passo 2 dividido por 3 · $3y - x = 141$ = passo 3 dividido por 3

Passo 5 — Somar as equações para eliminar x

Com as equações simplificadas, percebemos que uma tem +x e a outra tem -x. Somando as duas, o x se anula, sobrando uma equação só com y, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: O método da adição consiste em somar as equações membro a membro para eliminar uma incógnita. Aqui, x + (-x) = 0, então sobra 6y = 372.

De onde vem cada valor: $x + 3y$ = passo 4: primeira equação · $3y - x$ = passo 4: segunda equação · $231$ = passo 4: termo independente da primeira · $141$ = passo 4: termo independente da segunda

Passo 6 — Calcular o valor de y

A equação 6y = 372 tem apenas a incógnita y. Para isolá-la, dividimos ambos os lados por 6, obtendo o número de grupos de 9 funcionários.

Por que esta fórmula: Para resolver uma equação do tipo a·y = b, dividimos os dois lados por a, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

De onde vem cada valor: $372$ = passo 5: resultado da soma · $6$ = passo 5: coeficiente de y

Passo 7 — Substituir y na equação simplificada

Com y conhecido, usamos uma das equações simplificadas para encontrar x. Substituímos y = 62 na equação x + 3y = 231.

Por que esta fórmula: A equação x + 3y = 231 relaciona x e y. Com y conhecido, ela vira uma equação só com x, que podemos resolver isolando x.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $3$ = passo 4: coeficiente de y · $62$ = passo 6 · $231$ = passo 4: termo independente

Passo 8 — Calcular x e o total de grupos

Isolamos x subtraindo 186 de ambos os lados, obtendo o número de grupos de 3. Depois somamos x e y para achar o total de grupos.

Por que esta fórmula: Para isolar x, subtraímos 186 dos dois lados da equação. O total de grupos é a soma dos grupos de cada tipo.

De onde vem cada valor: $231$ = passo 7 · $186$ = passo 7: 3 · 62 · $x$ = passo 7 · $y$ = passo 6

x = 45 grupos de 3; total = 107 grupos

Resposta: 107 grupos (alternativa B)