As idades dos dois alunos mais novos de uma escola de futebol são, respectivamente, 6 anos e 7 anos, e as idades dos três mais velhos são, respectivamente, 10 anos, 11 anos e 12 anos. Todos os demais alunos dessa escola têm 8 anos, e a média aritmética das idades de todos os alunos da escola é igual a 8,3 anos.O número de alunos com 8 anos nessa escola é igual a:
A5
B10
C15
D20
E25
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GabaritoC — 15
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 15 alunos (alternativa C).
A ideia por trás
A média aritmética é o valor que representa todos os dados de um conjunto: somamos todos os valores e dividimos pela quantidade deles. Ela é usada para resumir um grupo em um único número. Nesta questão, conhecemos a média (8,3) e algumas idades, mas não sabemos quantos alunos têm 8 anos. A relação que governa é: média = soma das idades ÷ total de alunos. Se aumentarmos o número de alunos de 8 anos, a soma cresce e o total cresce, mas a média pode subir ou descer dependendo de como essas variações se comparam. Aqui, a média dada nos permite montar uma equação do 1º grau, onde a incógnita é a quantidade de alunos de 8 anos. O desafio é justamente inverter o raciocínio: em vez de calcular a média a partir dos dados, usamos a média para descobrir um dado desconhecido.
O que a questão dá
idades dos dois mais novos: 6 e 7 anos
idades dos três mais velhos: 10, 11 e 12 anos
demais alunos: 8 anos
média aritmética: 8,3 anos
O que queremos: o número de alunos com 8 anos
Passo 1 — Somar as idades conhecidas
Precisamos da soma total das idades para usar na fórmula da média. As idades diferentes são 6, 7, 10, 11 e 12; somá-las agora evita repetir a conta depois.
Por que esta fórmula: A soma é simples: juntamos todos os valores conhecidos.
De onde vem cada valor: = enunciado: idade do aluno mais novo · = enunciado: idade do segundo mais novo · = enunciado: idade do primeiro mais velho · = enunciado: idade do segundo mais velho · = enunciado: idade do mais velho
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar uma das idades, como 11 ou 12, o que altera toda a equação.
Passo 2 — Montar a expressão da soma total
A soma total das idades de todos os alunos é a soma das idades conhecidas mais a soma das idades dos alunos de 8 anos. Como não sabemos quantos são, usamos uma incógnita x.
Por que esta fórmula: Cada aluno de 8 anos contribui com 8 na soma; se há x alunos, a contribuição é 8x. Somamos isso à soma conhecida.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: idade dos demais alunos · = incógnita: número de alunos com 8 anos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar 8 por x, ou usar 8x como se fosse 8 + x.
Passo 3 — Montar a expressão do total de alunos
A média é a soma dividida pelo total de alunos. Precisamos do total de alunos, que é a soma dos 5 alunos com idades diferentes mais os x alunos de 8 anos.
Por que esta fórmula: O total de alunos é a quantidade de pessoas na escola: 5 com idades específicas + x com 8 anos.
De onde vem cada valor: = incógnita: número de alunos com 8 anos · = enunciado: dois mais novos + três mais velhos = 5 alunos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar os 5 alunos, usando apenas x como total, o que leva a uma equação errada.
Passo 4 — Montar a equação da média
A média dada (8,3) relaciona a soma total e o total de alunos. Substituímos as expressões dos passos 2 e 3 na fórmula da média para criar uma equação com x.
Por que esta fórmula: A média aritmética é definida como soma dividida pela quantidade. Aqui, a soma é 46+8x e a quantidade é x+5, e isso deve ser igual a 8,3.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3 · = enunciado: média das idades
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a fração, colocando o total de alunos no numerador.
Passo 5 — Multiplicar em cruz
Para resolver a equação, precisamos eliminar a fração. Multiplicar em cruz transforma a igualdade de frações em uma equação linear simples.
Por que esta fórmula: Se duas frações são iguais, o produto do numerador de uma pelo denominador da outra é igual ao produto do numerador da outra pelo denominador da primeira.
De onde vem cada valor: = passo 4 (numerador da esquerda) · = passo 4 (numerador da direita) · = passo 4 (denominador da direita)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar 8,3 por ambos os termos dentro do parêntese.
Passo 6 — Distribuir e simplificar
Precisamos expandir o lado direito para isolar x. Multiplicamos 8,3 por x e por 5.
Por que esta fórmula: A propriedade distributiva: a(b+c) = ab + ac.
De onde vem cada valor: = 8,3 vezes x · = 8,3 vezes 5
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação 8,3 × 5 = 41,5, ou esquecer de multiplicar o 5.
Passo 7 — Isolar a incógnita x
Para descobrir o valor de x, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da equação. Subtraímos 8,3x e 41,5 de ambos os lados.
Por que esta fórmula: Operações inversas: subtrair o mesmo valor dos dois lados mantém a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 6 (lado esquerdo) · = passo 6 (lado direito) · = passo 6 (lado direito) · = passo 6 (lado esquerdo)
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração 46 - 41,5 = 4,5, ou 8,3 - 8 = 0,3.
Passo 8 — Dividir para achar x
A equação 4,5 = 0,3x significa que 0,3 vezes x é 4,5. Para achar x, dividimos ambos os lados por 0,3.
Por que esta fórmula: Se a·x = b, então x = b/a. Aqui a = 0,3 e b = 4,5.
De onde vem cada valor: = passo 7 · = passo 7
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 0,3 por 4,5 em vez do contrário, ou errar a divisão decimal.