Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 644 alunos (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de frações de um total e de como montar uma equação do 1º grau. Quando um valor é dado como uma fração de um total desconhecido, o caminho é representar o total por uma letra (aqui, T) e escrever cada parte em função dela. A relação que governa é a soma das partes igual ao todo: a primeira escola é 3/7 de T, a segunda é 207, e a terceira é 1/3 da soma das duas primeiras. Somando tudo, obtemos T. O desafio está em interpretar corretamente a terceira escola: ela é um terço da soma das duas primeiras, não um terço do total — essa confusão leva a erros. Nesta questão, precisamos montar a equação com essa interpretação e resolvê-la.

O que a questão dá

• primeira escola: 3/7 do total de alunos

• segunda escola: 207 alunos

• terceira escola: 1/3 da soma das duas primeiras

O que queremos: o número total de alunos atendidos pelas três escolas

Passo 1 — Representar o total por T

Para trabalhar com frações de um total desconhecido, precisamos dar um nome a ele. Chamar o total de T permite escrever as quantidades de cada escola em função dessa incógnita.

Passo 2 — Escrever a equação da soma

A soma dos alunos das três escolas é o total T. Como conhecemos a primeira (3/7 de T), a segunda (207) e a terceira (1/3 da soma das duas primeiras), podemos montar a equação que iguala essa soma a T.

Por que esta fórmula: A equação traduz o enunciado: a primeira escola (3/7 T) mais a segunda (207) mais a terceira (1/3 da soma das duas primeiras) resulta no total T. É a relação fundamental do problema.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{7}T$ = enunciado: primeira escola atende 3/7 do total · $207$ = enunciado: segunda escola atende 207 alunos · $\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}T + 207\right)$ = enunciado: terceira escola atende 1/3 da soma das duas primeiras · $T$ = passo 1: total de alunos

Passo 3 — Eliminar os denominadores

A equação tem frações com denominadores 7 e 3. Multiplicar todos os termos pelo MMC (21) transforma a equação em uma sem frações, mais fácil de resolver.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 21 elimina os denominadores, pois 21 é divisível por 7 e por 3. Isso simplifica a equação sem alterar a igualdade.

De onde vem cada valor: $21$ = MMC de 7 e 3 · $\frac{3}{7}T$ = passo 2 · $207$ = passo 2 · $\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}T + 207\right)$ = passo 2 · $T$ = passo 1

Passo 4 — Simplificar cada termo

Agora que multiplicamos por 21, precisamos simplificar as frações para obter uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Cada multiplicação é feita: 21(3/7)T = 9T, 21207 = 4347, e 21(1/3)(3/7 T + 207) = 7*(3/7 T + 207) = 3T + 1449. Isso elimina os denominadores.

De onde vem cada valor: $9T$ = 21 * (3/7)T = 9T · $4347$ = 21 * 207 = 4347 · $3T$ = 21 * (1/3) * (3/7)T = 7 * (3/7)T = 3T · $1449$ = 21 * (1/3) * 207 = 7 * 207 = 1449 · $21T$ = 21 * T

Passo 5 — Combinar os termos semelhantes

Para isolar T, precisamos juntar os termos com T de um lado e os números do outro.

Por que esta fórmula: Somamos 9T + 3T = 12T e 4347 + 1449 = 5796, resultando em 12T + 5796 = 21T. Depois subtraímos 12T de ambos os lados para deixar T sozinho.

De onde vem cada valor: $12T$ = 9T + 3T · $5796$ = 4347 + 1449 · $21T$ = passo 4

Passo 6 — Isolar T

Com a equação simplificada, subtraímos 12T dos dois lados para deixar T em um único lado.

Por que esta fórmula: Subtrair 12T de ambos os lados mantém a igualdade e resulta em 5796 = 9T.

De onde vem cada valor: $5796$ = passo 5 · $9T$ = 21T - 12T

Passo 7 — Dividir para achar T

A equação 5796 = 9T indica que T é 5796 dividido por 9. Essa divisão dá o total de alunos.

Por que esta fórmula: Para isolar T, dividimos ambos os lados por 9: T = 5796 / 9.

De onde vem cada valor: $5796$ = passo 6 · $9$ = coeficiente de T no passo 6

Resposta: 644 alunos (alternativa B)