Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — VUNESP 2024

Taxa efetiva e real de juros em empréstimo com encargos

Gabarito: letra B. A taxa efetiva do empréstimo é calculada sobre o valor líquido recebido pelo mutuário (R$ 1.917,40) após o desconto de 2,13% de IOF e 2% de despesa de cadastro, resultando em 25,17% ao ano. A taxa real, que desconta a inflação de 6,30%, é obtida pela fórmula (1 + taxa real) = (1 + taxa efetiva) / (1 + inflação), resultando em 17,75% ao ano. As demais alternativas apresentam valores incorretos por utilizarem base errada ou cálculo inadequado da taxa real.

Passo a passo do cálculo correto

1. Valor do empréstimo contratado: R$ 2.000,00

2. Descontos:

   • IOF: 2,13% × R$ 2.000,00 = R$ 42,60

   • Cadastro: 2% × R$ 2.000,00 = R$ 40,00

   • Total descontado: R$ 82,60

3. Valor líquido recebido: R$ 2.000,00 – R$ 82,60 = R$ 1.917,40

4. Valor a pagar ao final: R$ 2.400,00

5. Taxa efetiva (i):

   $1.917,40 \times (1 + i) = 2.400,00$

   $1 + i = \frac{2.400}{1.917,40} \approx 1,2517$

   $i = 0,2517 = 25,17\% a.a.$

6. Taxa real (r):

   $(1 + r) = \frac{1 + i}{1 + \text{inflação}} = \frac{1,2517}{1,063} \approx 1,1775$

   $r = 0,1775 = 17,75\% a.a.$

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta 27,0% e 20,0%. A taxa efetiva de 27,0% é superior à correta (25,17%) e a real de 20,0% também está incorreta. Provável erro: uso do valor bruto do empréstimo (R$ 2.000,00) como base para o cálculo da taxa efetiva e/ou aplicação direta da inflação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Valores exatos: 25,17% (efetiva) e 17,75% (real), conforme demonstrado no cálculo acima.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta 24,22% e 18,34%. A taxa efetiva está abaixo da correta (25,17%) e a real acima (17,75%). Pode ter sido calculada com base no valor líquido incorreto ou com descontos mal aplicados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta 23,92% e 19,30%. A taxa efetiva 23,92% é menor que a correta; a real 19,30% é maior. Possível erro: considerar o IOF e a despesa de cadastro como parte do montante a pagar.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta 22,0% e 20,0%. A taxa efetiva 22,0% é bem inferior à correta; a real 20,0% também. Erro típico: ignorar completamente os descontos e calcular a taxa sobre R$ 2.000,00 (efetiva de 20% = 2.400/2.000 – 1) e depois aplicar a inflação de forma errada.

Gabarito: letra B.