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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
vu086841
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Gestão Pleno
A área total de um paralelepípedo reto-retângulo é 1528 cm² e a maior aresta desse paralelepípedo mede 20 cm a mais do que a menor aresta. Se nesse paralelepípedo a face de menor área tem 40 cm de perímetro, seu volume é
  1. A2240 cm³.
  2. B2268 cm³ .
  3. C2400 cm³ .
  4. D2674 cm³ .
  5. E2856 cm³ .
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 2856 cm³ .

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 2856 cm³ — alternativa E.

A ideia por trás

Um paralelepípedo reto-retângulo é um bloco com seis faces retangulares, e três dimensões diferentes: comprimento, largura e altura. A área total é a soma das áreas de todas as faces, que se agrupam em três pares de faces opostas e iguais. O volume é o espaço interno, calculado multiplicando as três dimensões.

A área total é A_t = 2(ab + ac + bc), onde a, b e c são as três arestas. Cada par de faces opostas tem área igual ao produto de duas arestas, e há dois de cada tipo. O volume é V = a·b·c. Se uma aresta é maior que outra por uma diferença fixa, e o perímetro de uma face é dado, essas informações viram equações que determinam as dimensões.

Esta questão fornece a área total, a diferença entre a maior e a menor aresta, e o perímetro da face formada pelas duas menores arestas. Precisamos montar um sistema com essas informações para achar as três dimensões e então calcular o volume.

O que a questão dá

  • área total = 1528 cm²

  • maior aresta = menor aresta + 20 cm

  • perímetro da face de menor área = 40 cm

O que queremos: o volume do paralelepípedo

Passo 1 — Nomear as arestas e montar as relações

Para trabalhar com as informações, precisamos dar nomes às três dimensões. Chamamos a menor de a, a intermediária de b e a maior de c. O enunciado diz que a maior é 20 cm a mais que a menor, então c = a + 20. A face de menor área é formada pelas duas menores arestas, a e b, e seu perímetro é 2(a + b) = 40, o que simplifica para a + b = 20.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é a soma do dobro de cada lado: 2·(lado1 + lado2). Aqui os lados são a e b.

c=a+20ea+b=20c = a + 20 \quad \text{e} \quad a + b = 20

De onde vem cada valor: cc = enunciado: maior aresta = menor + 20 · aa = definição: menor aresta · bb = definição: aresta intermediária

NÃO CAIA NESSA!

Confundir qual face é a de menor área: ela é formada pelas duas menores arestas, não pela menor e pela maior.

Passo 2 — Substituir as relações na fórmula da área total

A área total é a única informação que ainda não usamos. Substituindo c e b em função de a, a equação fica só com uma incógnita, permitindo achar a.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das seis faces: cada par de faces opostas tem área igual ao produto de duas arestas, e há dois de cada, então A_t = 2(ab + ac + bc).

At=2(ab+ac+bc)A_t = 2(ab + ac + bc)

De onde vem cada valor: AtA_t = enunciado: 1528 cm² · aa = definição: menor aresta · bb = definição: aresta intermediária · cc = definição: maior aresta

1528=2(a(20−a)+a(a+20)+(20−a)(a+20))1528 = 2\left(a(20-a) + a(a+20) + (20-a)(a+20)\right)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, ou errar ao expandir os produtos.

Passo 3 — Simplificar a equação da área total

Com a substituição feita, precisamos expandir e simplificar para chegar a uma equação do segundo grau, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Expandimos cada produto e somamos os termos semelhantes. O produto (20-a)(a+20) é uma diferença de quadrados: 400 - a².

1528=2(400+40a−a2)1528 = 2(400 + 40a - a^{2})

De onde vem cada valor: 15281528 = enunciado: área total · 400400 = constante: de (20-a)(a+20) = 400 - a² · 40a40a = constante: de a(20-a) + a(a+20) = 20a - a² + a² + 20a = 40a · −a2-a^{2} = constante: de (20-a)(a+20) = 400 - a²

1528=800+80a−2a21528 = 800 + 80a - 2a^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao expandir (20-a)(a+20): o termo -a² é negativo.

Passo 4 — Resolver a equação do segundo grau

A equação simplificada é uma quadrática. Precisamos encontrar o valor de a que satisfaz, usando Bhaskara.

Por que esta fórmula: A equação -2a² + 80a - 728 = 0 pode ser dividida por -2 para facilitar: a² - 40a + 364 = 0. A fórmula de Bhaskara dá as raízes.

a=40±402−4⋅1⋅3642a = \frac{40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 364}}{2}

De onde vem cada valor: 4040 = constante: coeficiente de a na equação a² - 40a + 364 = 0 · 364364 = constante: termo constante da equação

a=40±1600−14562=40±1442=40±122a = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1456}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{40 \pm 12}{2}

a = 26 ou a = 14

NÃO CAIA NESSA!

Escolher a raiz 26 sem verificar que ela torna b = 20 - a negativo, o que é impossível para uma aresta.

Passo 5 — Escolher a raiz válida e achar as outras arestas

Das duas raízes, apenas uma é geometricamente possível. Como b = 20 - a deve ser positivo, a = 14 é a única opção. Com a, calculamos b e c.

Por que esta fórmula: Usamos as relações do passo 1: b = 20 - a e c = a + 20.

b=20−a,c=a+20b = 20 - a, \quad c = a + 20

De onde vem cada valor: aa = passo 4: 14 cm · 2020 = passo 1: a + b = 20 · a+20a + 20 = passo 1: c = a + 20

b=20−14=6,c=14+20=34b = 20 - 14 = 6, \quad c = 14 + 20 = 34

a = 14 cm, b = 6 cm, c = 34 cm

NÃO CAIA NESSA!

Usar a = 26, que daria b = -6, uma aresta negativa sem sentido.

Passo 6 — Calcular o volume

Com as três dimensões conhecidas, o volume é o produto delas, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é o produto das três arestas: V = a·b·c.

V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

De onde vem cada valor: aa = passo 5: 14 cm · bb = passo 5: 6 cm · cc = passo 5: 34 cm

V=14×6×34=2856 cm3V = 14 \times 6 \times 34 = \boxed{2856\ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas duas dimensões, ou errar a conta de multiplicação.

Resposta: 2856 cm³ — alternativa E

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