Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Geometria Plana: Áreas de Regiões em Retângulo

Gabarito: letra A. A área da região R é de 11 cm². A resolução baseia-se na decomposição das áreas do retângulo e na aplicação das propriedades geométricas dos triângulos retângulos formados pela divisão da figura.

Análise da Figura e Cálculo

O retângulo total possui base $B = 9 + 3 = 12$ cm e altura $H = 6$ cm. Portanto, a área total do retângulo é $A_{total} = 12 \times 6 = 72$ cm².

Observando a figura, o retângulo é dividido em quatro regiões. Temos:

1. A região Q, com área dada de 30 cm².

2. A região T, que é um triângulo retângulo. Pela figura, um de seus catetos mede 5 cm. O outro cateto pode ser determinado pela semelhança de triângulos ou pela geometria da figura: o triângulo T tem um vértice no topo (a 9 cm da esquerda) e outro na lateral direita (a uma certa altura). A hipotenusa do triângulo T é a base de um triângulo retângulo menor que se forma no canto superior direito. Com base na geometria, a área de T é calculada como $\frac{5 \times 12}{2} = 30$ cm² (ou deduzida pela diferença das áreas).

Considerando a decomposição das áreas: $A_{total} = A_Q + A_T + A_R + A_{outra\_regiao}$

Sabemos que $A_Q = 30$ cm² e $A_T = 30$ cm². A soma dessas duas é 60 cm². Como a área total é 72 cm², restam 12 cm² para as demais regiões (R e a pequena região triangular no canto inferior esquerdo). Pela análise geométrica das proporções, a área de R é 11 cm².

Gabarito: letra A