Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 36 cm² (alternativa C).

A ideia por trás

Perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. No triângulo equilátero, os três lados são iguais, então o perímetro é 3x; no quadrado, os quatro lados são iguais, então o perímetro é 4y; no retângulo, os lados opostos são iguais, então o perímetro é 2x + 2y. A área do quadrado é o lado ao quadrado, A = y². Quando o enunciado dá duas relações entre x e y, montamos um sistema de equações: a primeira relação é a soma dos perímetros (3x + 4y = 45) e a segunda é o perímetro do retângulo (2x + 2y = 26). Resolver o sistema nos dá o valor de y, e com ele calculamos a área. Nesta questão, precisamos montar o sistema, resolvê-lo e depois aplicar a fórmula da área do quadrado.

O que a questão dá

• lado do triângulo equilátero = x cm

• lado do quadrado = y cm

• soma dos perímetros do triângulo e do quadrado = 45 cm

• perímetro do retângulo de lados x e y = 26 cm

O que queremos: a área do quadrado Q, ou seja, y²

Passo 1 — Montar a equação da soma dos perímetros

O enunciado diz que a soma dos perímetros do triângulo e do quadrado é 45 cm. Precisamos traduzir isso em uma equação, pois é uma das relações que nos permitirá encontrar x e y.

Por que esta fórmula: O perímetro de um polígono é a soma de todos os seus lados. Como o triângulo é equilátero, todos os lados medem x, então o perímetro é 3x. O quadrado tem todos os lados medindo y, então o perímetro é 4y. Somando os dois, temos a equação.

De onde vem cada valor: $3x$ = perímetro do triângulo equilátero de lado x · $4y$ = perímetro do quadrado de lado y · $45$ = enunciado: soma dos perímetros = 45 cm

Passo 2 — Montar a equação do perímetro do retângulo

O enunciado também informa o perímetro do retângulo de lados x e y. Essa é a segunda relação que precisamos para montar o sistema.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é a soma dos quatro lados: dois lados medem x e dois medem y, então o perímetro é 2x + 2y. Igualamos a 26 cm.

De onde vem cada valor: $2x$ = dois lados do retângulo medem x · $2y$ = dois lados do retângulo medem y · $26$ = enunciado: perímetro do retângulo = 26 cm

Passo 3 — Simplificar a segunda equação

A segunda equação tem todos os coeficientes pares, então podemos dividir por 2 para simplificar. Isso facilita a resolução do sistema.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados de uma equação por um mesmo número não altera a igualdade. Aqui, dividimos por 2 para obter uma equação mais simples.

De onde vem cada valor: $x + y$ = 2x + 2y dividido por 2 · $13$ = 26 dividido por 2

Passo 4 — Isolar x na equação simplificada

Para resolver o sistema, usamos o método da substituição. Precisamos expressar x em função de y para substituir na primeira equação.

Por que esta fórmula: Da equação x + y = 13, subtraímos y de ambos os lados para isolar x.

De onde vem cada valor: $13$ = passo 3 · $y$ = passo 3

Passo 5 — Substituir x na primeira equação

Agora que temos x em função de y, substituímos na primeira equação para obter uma equação apenas com y.

Por que esta fórmula: Substituição é o método de resolver sistemas: trocamos a variável x pela expressão equivalente em y.

De onde vem cada valor: $3(13 - y)$ = passo 4: x = 13 - y, substituído em 3x · $4y$ = passo 1 · $45$ = passo 1

Passo 6 — Resolver a equação para y

Com a equação apenas em y, aplicamos operações algébricas para encontrar o valor de y.

Por que esta fórmula: Primeiro aplicamos a distributiva, depois combinamos termos semelhantes e isolamos y.

De onde vem cada valor: $39$ = 3 · 13 · $-3y$ = 3 · (-y) · $4y$ = passo 5 · $45$ = passo 5

Passo 7 — Calcular a área do quadrado

A pergunta pede a área do quadrado, que é o lado ao quadrado. Já temos o lado y, então basta aplicar a fórmula.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo, ou seja, lado².

De onde vem cada valor: $y$ = passo 6: y = 6 cm

Resposta: 36 cm² (alternativa C)