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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2024

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
vu086844
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Gestão Pleno
Hoje, Raquel e Diego fazem parte de um grupo de 7 pesquisadores, sendo a média aritmética das idades dessas 7 pessoas igual a 44 anos. Há 8 anos, Raquel e Diego não faziam parte do grupo e a média das idades dos outros 5 pesquisadores era igual a 35,4 anos. Sabendo que Raquel é 9 anos mais velha do que Diego, hoje, a idade de Raquel é
  1. A50 anos.
  2. B51 anos.
  3. C52 anos.
  4. D53 anos.
  5. E54 anos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 50 anos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 50 anos (alternativa A).

A ideia por trás

A média aritmética é uma medida que resume um conjunto de números: ela indica o valor que cada elemento teria se todos fossem iguais, mantendo a mesma soma. Para um grupo, a média é a soma das idades dividida pelo número de pessoas. Quando o grupo muda (entram ou saem pessoas, ou o tempo passa), a soma total se altera de forma previsível: cada pessoa que envelhece 8 anos adiciona 8 à soma. Nesta questão, usamos a média para descobrir somas de idades em dois momentos diferentes e, com a diferença entre elas, isolamos a soma das idades de Raquel e Diego. Depois, com a informação de que Raquel é 9 anos mais velha, montamos um sistema simples para achar a idade de cada um.

O que a questão dá

  • média das idades dos 7 pesquisadores hoje = 44 anos

  • média das idades dos 5 pesquisadores há 8 anos = 35,4 anos

  • Raquel é 9 anos mais velha que Diego

O que queremos: a idade de Raquel hoje

Passo 1 — Calcular a soma das idades dos 7 hoje

A média é a soma dividida pela quantidade. Para trabalhar com as idades, precisamos das somas, não das médias. Então, multiplicamos a média pela quantidade de pessoas para obter a soma total das idades do grupo atual.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / n. Invertendo, soma = média × n.

S7=xˉ×nS_{7} = \bar{x} \times n

De onde vem cada valor: xˉ\bar{x} = enunciado: média = 44 anos · nn = enunciado: 7 pesquisadores

S7=44×7=308 anosS_{7} = 44 \times 7 = \boxed{308\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar e usar a média como soma.

Passo 2 — Calcular a soma das idades dos 5 há 8 anos

Precisamos da soma das idades dos 5 pesquisadores na época em que Raquel e Diego não estavam, para depois comparar com a soma atual.

Por que esta fórmula: Mesma definição de média: soma = média × quantidade.

S5,8=xˉ5×n5S_{5,8} = \bar{x}_{5} \times n_{5}

De onde vem cada valor: xˉ5\bar{x}_{5} = enunciado: média = 35,4 anos · n5n_{5} = enunciado: 5 pesquisadores

S5,8=35,4×5=177 anosS_{5,8} = 35{,}4 \times 5 = \boxed{177\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação com decimal: 35,4 × 5 = 177, não 175.

Passo 3 — Atualizar a soma dos 5 para hoje

Cada um dos 5 pesquisadores envelheceu 8 anos desde então, então a soma atual deles é a soma antiga mais 8 anos por pessoa. Isso nos dá a soma das idades deles hoje, que será usada para achar a soma de Raquel e Diego.

Por que esta fórmula: Se cada pessoa ganha 8 anos, a soma total aumenta em 8 vezes o número de pessoas.

S5,hoje=S5,8+5×8S_{5,hoje} = S_{5,8} + 5 \times 8

De onde vem cada valor: S5,8S_{5,8} = passo 2: 177 anos · 55 = enunciado: 5 pesquisadores · 88 = enunciado: há 8 anos

S5,hoje=177+5×8=217 anosS_{5,hoje} = 177 + 5 \times 8 = \boxed{217\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os 8 anos a cada um, usando 177 como soma atual.

Passo 4 — Achar a soma das idades de Raquel e Diego

A soma dos 7 é a soma dos 5 mais a soma de Raquel e Diego. Subtraindo a soma dos 5 da soma dos 7, isolamos a soma das idades do casal.

Por que esta fórmula: A soma total é composta pelas partes; subtrair uma parte da total dá a outra parte.

SRD=S7−S5,hojeS_{RD} = S_{7} - S_{5,hoje}

De onde vem cada valor: S7S_{7} = passo 1: 308 anos · S5,hojeS_{5,hoje} = passo 3: 217 anos

SRD=308−217=91 anosS_{RD} = 308 - 217 = \boxed{91\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada ou usar a soma antiga dos 5 (177) em vez da atual.

Passo 5 — Montar o sistema com a diferença de idades

Temos a soma das idades de Raquel e Diego, mas precisamos de cada uma separadamente. A informação de que Raquel é 9 anos mais velha fornece uma segunda equação, formando um sistema.

Por que esta fórmula: A soma é R + D = 91; a diferença é R = D + 9. Substituindo uma na outra, resolvemos.

R+D=91eR=D+9R + D = 91 \quad \text{e} \quad R = D + 9

De onde vem cada valor: RR = idade de Raquel (incógnita) · DD = idade de Diego (incógnita) · 9191 = passo 4 · 99 = enunciado: Raquel é 9 anos mais velha

(D+9)+D=91(D + 9) + D = 91
NÃO CAIA NESSA!

Montar a equação como R - D = 9, mas esquecer de substituir corretamente.

Passo 6 — Resolver a equação para Diego

Com a equação montada, isolamos D para descobrir a idade de Diego, que depois nos dará a de Raquel.

Por que esta fórmula: Simplificando a equação: 2D + 9 = 91, subtraímos 9 e dividimos por 2.

2D+9=91⇒2D=82⇒D=412D + 9 = 91 \Rightarrow 2D = 82 \Rightarrow D = 41

De onde vem cada valor: 9191 = passo 4 · 99 = enunciado: diferença de idades

2D=91−9=41 anos2D = 91 - 9 = \boxed{41\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 91 - 9 = 82, não 80.

Passo 7 — Calcular a idade de Raquel

Sabendo a idade de Diego, usamos a relação de que Raquel é 9 anos mais velha para achar a idade dela.

Por que esta fórmula: R = D + 9, diretamente da informação do enunciado.

R=D+9R = D + 9

De onde vem cada valor: DD = passo 6: 41 anos · 99 = enunciado: Raquel é 9 anos mais velha

R=41+9=50 anosR = 41 + 9 = \boxed{50\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar errado: 41 + 9 = 50, não 49.

Resposta: 50 anos (alternativa A)

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