Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 88 novas vagas rotativas (alternativa E)..

A ideia por trás

Razão e proporção comparam duas grandezas por divisão: a razão entre A e B é A/B. Quando o enunciado diz que a razão entre o total de vagas de aluguel mensal e o total de vagas rotativas passou a ser 2/3, isso significa que a divisão (aluguel mensal) ÷ (rotativas) vale 2/3. Para resolver, traduzimos o texto em expressões algébricas: chamamos de x as novas vagas rotativas, então as novas vagas de aluguel mensal são 160 − x, pois a soma das duas partes é 160. Com isso, montamos os totais após a ampliação e igualamos a razão a 2/3, gerando uma equação do 1º grau. Nesta questão, o passo crucial é definir a incógnita corretamente e montar a razão na ordem certa (aluguel sobre rotativas), pois inverter a ordem leva a um resultado errado.

O que a questão dá

• vagas de aluguel mensal antes = 120

• vagas rotativas antes = 200

• novas vagas totais = 160

• razão final (aluguel/rotativas) = 2/3

O que queremos: o número de novas vagas rotativas na ampliação

Passo 1 — Definir a incógnita x

Precisamos de um nome para o valor que queremos descobrir: o número de novas vagas rotativas. Chamá-lo de x permite escrever as outras quantidades em função dele.

Passo 2 — Expressar as novas vagas de aluguel

Como a ampliação adicionou 160 vagas no total, e x delas são rotativas, o restante (160 − x) são de aluguel mensal. Isso é necessário para montar os totais após a ampliação.

Por que esta fórmula: A soma das novas vagas rotativas e de aluguel deve ser 160, então novas de aluguel = 160 − x.

De onde vem cada valor: $160$ = enunciado: mais 160 vagas · $x$ = passo 1

Passo 3 — Calcular os totais após a ampliação

A razão do enunciado é entre os totais finais, então precisamos somar as vagas antigas com as novas para cada tipo.

Por que esta fórmula: Total de aluguel = antigas (120) + novas (160 − x); total de rotativas = antigas (200) + novas (x).

De onde vem cada valor: $120$ = enunciado: 120 vagas para aluguel mensal · $160 - x$ = passo 2 · $280 - x$ = soma de 120 e 160 − x

Passo 4 — Montar a equação da razão

A razão final entre aluguel e rotativas é 2/3, então igualamos a fração dos totais a 2/3. Essa é a equação que resolve o problema.

Por que esta fórmula: A razão é a divisão do total de aluguel pelo total de rotativas, e o enunciado diz que essa divisão vale 2/3.

De onde vem cada valor: $280 - x$ = passo 3 · $200 + x$ = passo 3 (total de rotativas) · $2/3$ = enunciado: razão passou a ser 2/3

Passo 5 — Multiplicar em cruz

Para resolver a equação com frações, multiplicamos em cruz: o numerador de um lado vezes o denominador do outro. Isso elimina as frações e vira uma equação linear.

Por que esta fórmula: Se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui a = 280−x, b = 200+x, c = 2, d = 3.

De onde vem cada valor: $3$ = denominador do lado direito (2/3) · $280 - x$ = passo 4 · $2$ = numerador do lado direito (2/3) · $200 + x$ = passo 4

Passo 6 — Distribuir e simplificar

Aplicamos a propriedade distributiva para abrir os parênteses e depois isolamos x, juntando os termos com x de um lado e os números do outro.

Por que esta fórmula: Distribuir: 3·280 = 840 e 3·(−x) = −3x; 2·200 = 400 e 2·x = 2x. Depois, passamos termos para isolar x.

De onde vem cada valor: $840$ = 3 × 280 · $-3x$ = 3 × (−x) · $400$ = 2 × 200 · $2x$ = 2 × x

Passo 7 — Isolar x

Para encontrar o valor de x, movemos os termos com x para um lado e os números para o outro, depois dividimos pelo coeficiente de x.

Por que esta fórmula: Somar 3x dos dois lados e subtrair 400 dos dois lados: 840 − 400 = 2x + 3x, resultando em 440 = 5x. Depois dividimos por 5.

De onde vem cada valor: $440$ = 840 − 400 · $5$ = 2 + 3 (coeficientes de x) · $440/5$ = divisão para isolar x

Resposta: 88 novas vagas rotativas (alternativa E).