Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Geometria Plana: Cálculo de Áreas em Quadrado

Gabarito: letra C. O polígono $BCDEFGHIJK$ ocupa $62,5\%$ da área do quadrado $ABCD$. Para resolver, considere o lado do quadrado como $L = 4$ unidades. A diagonal $BD$ divide o quadrado em dois triângulos retângulos de área $8$ cada. O polígono é formado por três quadrados menores de lado $1$ (posicionados nos vértices dos degraus) e triângulos retângulos adjacentes, totalizando uma área de $5$ unidades dentro de um total de $8$ unidades (metade do quadrado), resultando na fração $\frac{5}{8} = 0,625 = 62,5\%$.

Análise da Resolução

Para facilitar a visualização, podemos dividir o quadrado $ABCD$ em uma malha quadriculada. Se atribuirmos o valor $4$ ao lado do quadrado, a área total será $16$. A diagonal $BD$ divide essa área em dois triângulos de área $8$ cada. O polígono $BCDEFGHIJK$ está contido na região superior esquerda em relação à diagonal, mas a forma "escada" composta pelos segmentos iguais $EF, FG, GH, HI, IJ, JK$ permite decompor a área ocupada.

Observando a figura, o polígono é composto por:

• Três quadrados unitários (de lado $1$) que formam a base dos degraus.

• Três triângulos retângulos isósceles de catetos $1$ que completam a figura até a diagonal.

Somando essas partes, a área ocupada pelo polígono em relação à metade do quadrado (que é $8$) é de $5$ unidades. Portanto, a fração da área total do quadrado é:

Gabarito: letra C