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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
vu086917
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Engenheiro Pleno
Um muro é construído com a sobreposição de placas RASCUNHO idênticas que formam colunas, lado a lado. A imagem a seguir mostra 4 colunas com 5 placas sobrepostas em cada coluna.Imagem associada para resolução da questãoEsse exemplo representa uma parte do muro com o comprimento de 3,20 m e altura de 2,0 m. Para efeito de medida, não devem ser considerados os espaços entre as placas.O número de placas necessárias para construir um muro com comprimento de 108 m de comprimento e altura de 1,60 m é igual a
  1. A524.
  2. B528.
  3. C532.
  4. D536.
  5. E540.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 540.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 540 placas — alternativa E.

A ideia por trás

Este problema trata de ladrilhamento: cobrir uma superfície retangular com peças retangulares idênticas, sem sobreposição e sem deixar buracos. A ideia central é que, se as peças são todas iguais e encaixam perfeitamente, o número de peças em cada direção é obtido dividindo a medida total pela medida da peça naquela direção.

Se um retângulo de comprimento C e altura H é preenchido por peças de comprimento c e altura h, então o número de peças no comprimento é C/c e na altura é H/h, desde que essas divisões sejam exatas. O total de peças é o produto desses dois números. Essa relação vale porque cada peça ocupa exatamente c de comprimento e h de altura, e não há sobras nem espaços.

A questão fornece um muro de exemplo com 4 colunas e 5 placas, ocupando 3,20 m por 2,0 m. A partir dele, descobrimos as dimensões de cada placa e aplicamos a mesma relação ao novo muro.

O que a questão dá

  • muro exemplo: comprimento = 3,20 m, altura = 2,0 m

  • muro exemplo: 4 colunas, cada uma com 5 placas

  • novo muro: comprimento = 108 m, altura = 1,60 m

O que queremos: o número total de placas necessárias para o novo muro

Passo 1 — Descobrir o comprimento de cada placa

Para saber quantas placas cabem no novo muro, precisamos primeiro saber o tamanho de cada placa. O exemplo nos dá isso: 4 colunas lado a lado ocupam 3,20 m de comprimento, então cada coluna (e cada placa) tem um quarto desse comprimento.

Por que esta fórmula: Como as colunas são idênticas e não há espaços, o comprimento total é a soma dos comprimentos das 4 colunas. Dividir o total pelo número de colunas dá o comprimento de uma coluna, que é o comprimento de uma placa.

c=Cexemploncolunasc = \frac{C_{exemplo}}{n_{colunas}}

De onde vem cada valor: CexemploC_{exemplo} = enunciado: 3,20 m · ncolunasn_{colunas} = enunciado: 4 colunas

c=3,204=0,80 mc = \frac{3{,}20}{4} = \boxed{0{,}80\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 3,20 por 5 (número de placas na altura) em vez de por 4 — isso mistura as direções.

Passo 2 — Descobrir a altura de cada placa

Assim como no comprimento, precisamos da altura de cada placa para calcular quantas cabem na altura do novo muro. No exemplo, 5 placas empilhadas ocupam 2,0 m de altura.

Por que esta fórmula: A altura total é a soma das alturas das 5 placas sobrepostas. Dividir a altura total pelo número de placas na coluna dá a altura de uma placa.

h=Hexemplonplacas_por_colunah = \frac{H_{exemplo}}{n_{placas\_por\_coluna}}

De onde vem cada valor: HexemploH_{exemplo} = enunciado: 2,0 m · nplacas_por_colunan_{placas\_por\_coluna} = enunciado: 5 placas

h=2,05=0,40 mh = \frac{2{,}0}{5} = \boxed{0{,}40\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 2,0 por 4 (número de colunas) em vez de por 5 — inverte as direções.

Passo 3 — Calcular quantas placas cabem no comprimento

Agora que sabemos que cada placa tem 0,80 m de comprimento, podemos descobrir quantas placas formam uma fileira horizontal no novo muro de 108 m.

Por que esta fórmula: O comprimento total do muro é a soma dos comprimentos de todas as placas enfileiradas. Dividir o total pelo comprimento de uma placa dá o número de placas na horizontal.

ncolunas_novo=Cnovocn_{colunas\_novo} = \frac{C_{novo}}{c}

De onde vem cada valor: CnovoC_{novo} = enunciado: 108 m · cc = passo 1: 0,80 m

ncolunas_novo=1080,80=135 colunasn_{colunas\_novo} = \frac{108}{0{,}80} = \boxed{135\ \text{colunas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão por 0,80 — lembre que 108 ÷ 0,80 = 135, não 134 ou 131.

Passo 4 — Calcular quantas placas cabem na altura

Da mesma forma, precisamos saber quantas placas empilhadas formam a altura de 1,60 m do novo muro.

Por que esta fórmula: A altura total é a soma das alturas das placas empilhadas. Dividir a altura total pela altura de uma placa dá o número de placas na vertical.

nplacas_por_coluna_novo=Hnovohn_{placas\_por\_coluna\_novo} = \frac{H_{novo}}{h}

De onde vem cada valor: HnovoH_{novo} = enunciado: 1,60 m · hh = passo 2: 0,40 m

nplacas_por_coluna_novo=1,600,40=4 placasn_{placas\_por\_coluna\_novo} = \frac{1{,}60}{0{,}40} = \boxed{4\ \text{placas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 1,60 ÷ 0,80 (comprimento da placa) em vez de 0,40 — confundir as dimensões.

Passo 5 — Multiplicar para obter o total de placas

Cada coluna tem 4 placas empilhadas, e há 135 colunas lado a lado. O total é a multiplicação desses dois números, pois cada coluna contribui com 4 placas.

Por que esta fórmula: O número total de placas é o produto do número de colunas pelo número de placas por coluna, já que todas as colunas são idênticas.

Ntotal=ncolunas_novo×nplacas_por_coluna_novoN_{total} = n_{colunas\_novo} \times n_{placas\_por\_coluna\_novo}

De onde vem cada valor: ncolunas_novon_{colunas\_novo} = passo 3: 135 · nplacas_por_coluna_novon_{placas\_por\_coluna\_novo} = passo 4: 4

Ntotal=135×4=540 placasN_{total} = 135 \times 4 = \boxed{540\ \text{placas}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 135 + 4 em vez de multiplicar — isso daria 139, um valor absurdo.

Resposta: 540 placas — alternativa E

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