Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Geometria Plana: Cálculo do Perímetro

Gabarito: letra C. O perímetro do polígono ABCDEF é a soma de todos os seus lados ($AB + BC + CD + DE + EF + FA$). Com base nos dados fornecidos e na aplicação do Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos formados, obtemos o valor total de 64 unidades de comprimento.

Para encontrar o perímetro, precisamos determinar os comprimentos dos lados que não foram informados diretamente. Observando a figura, identificamos triângulos retângulos que permitem calcular as medidas faltantes:

1. Triângulo ABC: É um triângulo retângulo em B. Temos $AB = 4$ e $BC = 3$. Pelo Teorema de Pitágoras ($AC^2 = AB^2 + BC^2$), temos $AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, logo $AC = 5$.

2. Triângulo ACD: É um triângulo retângulo em A. Temos $AD = 12$ e $AC = 5$. Pelo Teorema de Pitágoras ($CD^2 = AC^2 + AD^2$), temos $CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, logo $CD = 13$.

3. Triângulo AFE: É um triângulo retângulo em A. Temos $AF = 7$ e $AD = 12$ (que é a base do triângulo maior). O lado $EF = 25$ é a hipotenusa. Note que o segmento $AE$ é composto por $AD + DE$. No triângulo retângulo AFE, $AE^2 + AF^2 = EF^2$, logo $AE^2 + 7^2 = 25^2$, resultando em $AE^2 = 625 - 49 = 576$, portanto $AE = 24$. Como $AE = AD + DE$, temos $24 = 12 + DE$, logo $DE = 12$.

Agora, somamos todos os lados do polígono: $Perímetro = AB + BC + CD + DE + EF + FA$ $Perímetro = 4 + 3 + 13 + 12 + 25 + 7 = 64$

Gabarito: letra C