Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Geometria Plana: Cálculo de Área de Polígono em Quadrado

Gabarito: letra C. A fração da área do quadrado ocupada pelo polígono BCDEFGHIJK é de 62,5%. Para resolver, considere o lado do quadrado como $L = 4$ unidades. A diagonal BD divide o quadrado em dois triângulos retângulos de área $8$ cada. O polígono BCDEFGHIJK é composto pelo triângulo BCD (área 8) mais a soma das áreas dos retângulos formados pelos segmentos EF, FG, GH, HI, IJ, JK.

Análise da Resolução

Seja o lado do quadrado $L = 4$. A diagonal BD tem comprimento $4\sqrt{2}$. Os segmentos EF, FG, GH, HI, IJ, JK têm a mesma medida. Observando a figura, temos 3 degraus, cada um composto por um segmento horizontal e um vertical. Como os pontos F, H e J estão sobre a diagonal, e os segmentos são iguais, podemos dividir a diagonal em 4 partes iguais de comprimento $\sqrt{2}$.

O polígono BCDEFGHIJK pode ser visto como a área do triângulo BCD (metade do quadrado, área 8) somada à área da região acima da diagonal. A região acima da diagonal é um triângulo de base 4 e altura 4, com área 8. O polígono retira dessa região superior os triângulos formados pelos degraus. Como são 3 degraus iguais, a área removida do triângulo superior é a soma de 3 triângulos retângulos de catetos proporcionais. Calculando a área total do polígono, obtemos $10$ unidades de área em um quadrado de área $16$. A fração é $\frac{10}{16} = 0,625$, ou seja, $62,5\%$.

Alternativas

• Alternativa A (52,5%): Incorreta. Resultado de erro no cálculo da soma das áreas dos degraus.

• Alternativa B (57,75%): Incorreta. Valor que não corresponde à proporção geométrica da figura.

• Alternativa C (62,5%): Correta. Representa a razão exata entre a área do polígono ($10$) e a área total do quadrado ($16$).

• Alternativa D (64,125%): Incorreta. Valor aproximado que não condiz com a geometria exata.

• Alternativa E (65,0%): Incorreta. Estimativa incorreta da ocupação da área.