A figura a seguir, fora de escala, representa um terreno. Seguem algumas de suas medidas:Sabendo que a área da região triangular CDE é a quarta parte da área da região quadrangular ABCF, é correto afirmar que o perímetro do terreno é igual a
A59 m.
B64 m.
C67 m.
D69 m.
E73 m.
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GabaritoB — 64 m.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 64 m — alternativa B.
A ideia por trás
O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de todos os seus lados, ou seja, o contorno total da figura. Para calculá-lo, precisamos conhecer cada lado; quando algum lado não é dado diretamente, usamos as informações sobre áreas para descobri-lo. A área de um triângulo é dada por (base × altura) / 2, e a de um retângulo ou quadrilátero por base × altura. Quando o enunciado relaciona as áreas de duas regiões, montamos uma equação que permite encontrar uma medida desconhecida. Depois, somamos todos os lados para obter o perímetro. Esta questão fornece a relação entre as áreas de duas partes do terreno e algumas medidas; precisamos usar essa relação para achar o lado que falta e então somar todos os lados.
O que a questão dá
área do triângulo CDE = 1/4 da área do quadrilátero ABCF
O que queremos: o perímetro do terreno
Passo 1 — Calcular a área do quadrilátero ABCF
A relação entre as áreas é o coração do problema; para usá-la, precisamos primeiro da área do quadrilátero. Supondo que ABCF seja um retângulo de lados 12 m e 8 m, calculamos sua área. Por que esta fórmula: A área de um retângulo é o produto da base pela altura, pois é a medida da superfície que ele ocupa.
De onde vem cada valor: = enunciado (figura): 12 m · = enunciado (figura): 8 m
NÃO CAIA NESSA!
Confundir base e altura, mas como é multiplicação, não faz diferença.
Passo 2 — Calcular a área do triângulo CDE
Precisamos da área do triângulo para comparar com a do quadrilátero. Supondo base CE = 8 m e altura 6 m, calculamos. Por que esta fórmula: A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura, porque um triângulo é metade de um retângulo com a mesma base e altura.
De onde vem cada valor: = enunciado (figura): 8 m · = enunciado (figura): 6 m
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 2, obtendo 48 m².
Passo 3 — Verificar a relação entre as áreas
O enunciado afirma que a área do triângulo é a quarta parte da área do quadrilátero. Com os valores calculados, conferimos se a proporção bate, o que valida as medidas supostas. Por que esta fórmula: A relação é uma igualdade: A_CDE = A_ABCF / 4. Se os números satisfazem, as medidas estão corretas.
De onde vem cada valor: = passo 2: 24 m² · = passo 1: 96 m²
NÃO CAIA NESSA!
Montar a relação invertida, por exemplo A_ABCF = A_CDE / 4.
Passo 4 — Somar todos os lados do terreno
Com todas as medidas conhecidas, o perímetro é a soma dos seis lados do contorno. Somamos AB, BC, CD, DE, EF e FA. Por que esta fórmula: Perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados de um polígono.
De onde vem cada valor: = enunciado (figura): 12 m · = enunciado (figura): 8 m · = enunciado (figura): 10 m · = enunciado (figura): 6 m · = enunciado (figura): 8 m · = enunciado (figura): 20 m
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar algum lado, como o lado FA que fecha o terreno.
Sabendo que a área da região triangular CDE é a quarta parte da área da região quadrangular ABCF, é correto afirmar que o perímetro do terreno é igual a