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Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2024

MatemáticaÁlgebra
Código
vu087087
Banca
VUNESP
Órgão
Spcine - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Dados
Paulo tem duas filhas: Laura e Manuela. A soma das idades dos três é 81 anos. A razão entre a soma das idades de Laura e Manuela e a idade de Paulo é 11/16, e a razão entre as idades das filhas é 6/5.Com essas informações, é correto afirmar que a diferença entre as idades das filhas de Paulo é de
  1. A8 anos.
  2. B6 anos.
  3. C5 anos.
  4. D4 anos.
  5. E3 anos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 3 anos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A diferença entre as idades das filhas é 18 - 15 = 3 anos. Alternativa E..

A ideia por trás

Este problema envolve razões e proporções aplicadas a idades. Uma razão compara duas grandezas por divisão: dizer que a razão entre a soma das idades das filhas e a idade de Paulo é 11/16 significa que, para cada 16 partes da idade de Paulo, a soma das filhas corresponde a 11 partes. Isso permite transformar a razão em uma equação algébrica. A relação central é que, se a razão entre duas quantidades é a/b, então podemos escrever uma igualdade de frações, que junto com outras equações forma um sistema. Nesta questão, usamos as duas razões para montar um sistema de três equações com três incógnitas (L, M, P) e resolvê-lo passo a passo, primeiro isolando P, depois M e L, para finalmente calcular a diferença pedida.

O que a questão dá

  • soma das idades = 81 anos

  • razão (L+M)/P = 11/16

  • razão L/M = 6/5

O que queremos: a diferença entre as idades das filhas (L - M)

Passo 1 — Montar as equações do sistema

Precisamos transformar as informações do enunciado em equações matemáticas. Cada frase vira uma equação: a soma das idades, a razão entre a soma das filhas e a idade de Paulo, e a razão entre as idades das filhas. Isso nos dá um sistema que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Usamos as definições de razão: se a razão entre A e B é r, então A/B = r. Assim, escrevemos as três relações dadas.

{L+M+P=81L+MP=1116LM=65\begin{cases} L + M + P = 81 \\ \frac{L + M}{P} = \frac{11}{16} \\ \frac{L}{M} = \frac{6}{5} \end{cases}

De onde vem cada valor: LL = enunciado: idade de Laura · MM = enunciado: idade de Manuela · PP = enunciado: idade de Paulo · 8181 = enunciado: soma das idades é 81 · 11/1611/16 = enunciado: razão (L+M)/P = 11/16 · 6/56/5 = enunciado: razão L/M = 6/5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de escrever a equação da soma ou inverter as razões (colocar P/(L+M) em vez de (L+M)/P).

Passo 2 — Isolar a soma das filhas na razão

A segunda equação relaciona L+M com P. Vamos isolá-la para substituir na equação da soma, eliminando uma incógnita e ficando só com P.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados da equação por P para tirar o denominador.

L+M=1116PL + M = \frac{11}{16} P

De onde vem cada valor: L+ML + M = passo 1: equação 2 · PP = passo 1: equação 2 · 11/1611/16 = passo 1: equação 2

L+M=1116PL + M = \frac{11}{16} P
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o lado direito por P, ficando com L+M = 11/16.

Passo 3 — Substituir na soma e achar a idade de Paulo

Agora temos L+M em função de P. Substituímos na equação da soma (L+M+P=81) para obter uma equação só com P, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde aparece L+M, colocamos (11/16)P. Depois somamos os termos com P.

1116P+P=81\frac{11}{16}P + P = 81

De onde vem cada valor: 1116P\frac{11}{16}P = passo 2: L+M = (11/16)P · PP = passo 1: equação 1 · 8181 = passo 1: equação 1

1116P+P=81\frac{11}{16}P + P = 81
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma de frações: 11/16 + 1 = 27/16, não 12/16.

Passo 4 — Resolver a equação para P

Precisamos do valor numérico de P para depois achar as idades das filhas. Isolamos P dividindo pelo coeficiente.

Por que esta fórmula: A equação é (27/16)P = 81. Para isolar P, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 27/16, que é 16/27.

P=81×1627P = 81 \times \frac{16}{27}

De onde vem cada valor: 8181 = passo 3: equação · 16/2716/27 = passo 3: inverso do coeficiente 27/16

P=81×1627=48 anosP = 81 \times \frac{16}{27} = \boxed{48\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração errado: usar 27/16 em vez de 16/27, ou simplificar 81/27 errado (81/27=3, não 2).

Passo 5 — Calcular a soma das idades das filhas

Com P conhecido, voltamos à equação da soma para achar L+M, que precisaremos para separar as idades.

Por que esta fórmula: Da equação L+M+P=81, isolamos L+M subtraindo P dos dois lados.

L+M=81−PL + M = 81 - P

De onde vem cada valor: 8181 = passo 1: equação 1 · PP = passo 4: 48 anos

L+M=81−48=33 anosL + M = 81 - 48 = \boxed{33\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o valor de P errado (por exemplo, 27) ou esquecer de subtrair.

Passo 6 — Expressar Laura em função de Manuela

A terceira equação relaciona L e M. Vamos usá-la para substituir L na equação L+M=33, ficando só com M.

Por que esta fórmula: Da razão L/M = 6/5, multiplicamos cruzado: 5L = 6M, então L = (6/5)M.

L=65ML = \frac{6}{5} M

De onde vem cada valor: LL = passo 1: equação 3 · MM = passo 1: equação 3 · 6/56/5 = passo 1: equação 3

L=65ML = \frac{6}{5} M
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão: escrever M = (6/5)L em vez de L = (6/5)M.

Passo 7 — Substituir e achar a idade de Manuela

Substituímos L na equação L+M=33 para obter uma equação só com M e resolvê-la.

Por que esta fórmula: Substituição direta: L vira (6/5)M. Somamos os termos com M: (6/5)M + M = (11/5)M.

65M+M=33\frac{6}{5}M + M = 33

De onde vem cada valor: 65M\frac{6}{5}M = passo 6: L = (6/5)M · MM = passo 5: L+M = 33 · 3333 = passo 5: L+M = 33

65M+M=33\frac{6}{5}M + M = 33
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 6/5 + 1 = 11/5, não 7/5.

Passo 8 — Resolver para M e depois para L

Precisamos dos valores individuais de M e L para calcular a diferença. Primeiro isolamos M, depois usamos L+M=33 para achar L.

Por que esta fórmula: A equação é (11/5)M = 33. Multiplicamos pelo inverso 5/11 para achar M. Depois subtraímos M de 33 para achar L.

M=33×511eL=33−MM = 33 \times \frac{5}{11} \quad \text{e} \quad L = 33 - M

De onde vem cada valor: 3333 = passo 7: equação · 5/115/11 = passo 7: inverso do coeficiente 11/5 · MM = passo 7: incógnita · LL = passo 5: L+M = 33

M=33×511=15eL=33−15=18M = 33 \times \frac{5}{11} = 15 \quad \text{e} \quad L = 33 - 15 = 18

M = 15 anos, L = 18 anos

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular L depois de achar M, ou errar a multiplicação 335/11 (33/11=3, 35=15).

Resposta: A diferença entre as idades das filhas é 18 - 15 = 3 anos. Alternativa E.

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