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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu087088
Banca
VUNESP
Órgão
Spcine - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Dados
Um produtor publicitário tem à sua disposição os tempos de 1 hora 12 minutos, 56 minutos, 1 hora e 28 minutos, 48 minutos, e 1 hora e 4 minutos, para a divulgação de um produto. Ele quer dividir todos esses tempos em períodos, de mesma duração, de modo a ter o menor número de períodos de tempo possível.Realizada a divisão dessa maneira, o número total de períodos de tempo que esse produtor obterá é igual a
  1. A36.
  2. B37.
  3. C41.
  4. D48.
  5. E53.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 41.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 41 períodos (alternativa C).

A ideia por trás

Quando precisamos dividir várias quantidades em partes iguais e queremos o menor número de partes, cada parte deve ser a maior possível que divida exatamente todas as quantidades. Essa maior parte é o MDC (máximo divisor comum) dos números. O MDC é o maior número que divide todos os outros sem deixar resto; para encontrá-lo, fatoramos cada número e pegamos os fatores comuns com o menor expoente. Já o MMC (mínimo múltiplo comum) seria usado se quiséssemos o próximo instante em que eventos coincidem, não para dividir em partes. Nesta questão, a palavra-chave é 'dividir em períodos de mesma duração' e 'menor número de períodos', o que indica MDC: a duração de cada período deve ser o MDC dos tempos, e o número de períodos é a soma das divisões de cada tempo por esse MDC.

O que a questão dá

  • 1 hora 12 minutos

  • 56 minutos

  • 1 hora 28 minutos

  • 48 minutos

  • 1 hora 4 minutos

O que queremos: o número total de períodos de mesma duração, com o menor número possível de períodos

Passo 1 — Converter horas e minutos para minutos

Para comparar e dividir os tempos, precisamos que todos estejam na mesma unidade. Como as durações são dadas em horas e minutos, vamos transformar tudo em minutos, pois é a unidade menor e evita frações.

Por que esta fórmula: Cada hora tem 60 minutos, então para converter '1 hora e X minutos' fazemos 60 + X.

Tmin=60⋅h+mT_{min} = 60 \cdot h + m

De onde vem cada valor: hh = enunciado: número de horas (1 em cada caso) · mm = enunciado: minutos restantes (12, 0, 28, 0, 4)

T1=60⋅1+12=72,T2=60⋅0+56=56,T3=60⋅1+28=88,T4=60⋅0+48=48,T5=60⋅1+4=64=72 ,56,88,48,64minutosT_1 = 60 \cdot 1 + 12 = 72, T_2 = 60 \cdot 0 + 56 = 56, T_3 = 60 \cdot 1 + 28 = 88, T_4 = 60 \cdot 0 + 48 = 48, T_5 = 60 \cdot 1 + 4 = 64 = \boxed{72\ , 56, 88, 48, 64 \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os minutos após multiplicar as horas por 60, resultando em valores como 60 em vez de 72.

Passo 2 — Fatorar cada número em primos

Para encontrar o MDC, precisamos da fatoração prima de cada número. Fatorar significa decompor o número em uma multiplicação de primos, o que revela os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração prima é a base para calcular o MDC: pegamos os fatores que aparecem em todos os números, com o menor expoente.

72=23⋅32,56=23⋅7,88=23⋅11,48=24⋅3,64=2672 = 2^{3} \cdot 3^{2}, 56 = 2^{3} \cdot 7, 88 = 2^{3} \cdot 11, 48 = 2^{4} \cdot 3, 64 = 2^{6}

De onde vem cada valor: 7272 = passo 1 · 5656 = passo 1 · 8888 = passo 1 · 4848 = passo 1 · 6464 = passo 1

72=23⋅32,56=23⋅7,88=23⋅11,48=24⋅3,64=2672 = 2^{3} \cdot 3^{2}, 56 = 2^{3} \cdot 7, 88 = 2^{3} \cdot 11, 48 = 2^{4} \cdot 3, 64 = 2^{6}

7272 = fatorações acima

NÃO CAIA NESSA!

Fatorar incorretamente, como 72 = 2^3 * 3^2 (correto) mas esquecer que 48 tem 2^4, ou 64 tem 2^6.

Passo 3 — Calcular o MDC dos tempos

O MDC é a maior duração que divide todos os tempos exatamente, garantindo o menor número de períodos. Com as fatorações, identificamos os fatores comuns e o menor expoente.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns a todos os números, cada um elevado ao menor expoente encontrado. Aqui, o único fator comum é 2, e o menor expoente é 3 (pois 72, 56 e 88 têm 2^3, enquanto 48 tem 2^4 e 64 tem 2^6).

MDC=23=8MDC = 2^{3} = 8

De onde vem cada valor: 22 = fator comum a todas as fatorações (passo 2) · 33 = menor expoente de 2 entre os números (passo 2)

MDC=23=8=8 minutosMDC = 2^{3} = 8 = \boxed{8\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente (6) em vez do menor, resultando em 64, o que não divide 72, 56, 88 e 48.

Passo 4 — Dividir cada tempo pelo MDC

Com a duração de cada período definida (8 min), calculamos quantos períodos cabem em cada tempo. Isso nos dá o número de períodos por tempo.

Por que esta fórmula: Se cada período tem 8 minutos, o número de períodos é o tempo total dividido por 8. Como 8 divide exatamente todos os tempos, os resultados são inteiros.

ni=TiMDCn_i = \frac{T_i}{MDC}

De onde vem cada valor: TiT_i = passo 1: 72, 56, 88, 48, 64 · MDCMDC = passo 3: 8

n1=72/8=9,n2=56/8=7,n3=88/8=11,n4=48/8=6,n5=64/8=8=9 ,7,11,6,8perıˊodosn_1 = 72/8 = 9, n_2 = 56/8 = 7, n_3 = 88/8 = 11, n_4 = 48/8 = 6, n_5 = 64/8 = 8 = \boxed{9\ , 7, 11, 6, 8 \text{per}í\text{odos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada ou usar o MDC incorreto, como 12, o que daria resultados não inteiros.

Passo 5 — Somar os períodos de cada tempo

O total de períodos é a soma dos períodos de cada tempo, pois cada tempo é dividido independentemente. Somamos os quocientes obtidos.

Por que esta fórmula: A soma direta dos números de períodos de cada tempo dá o total, já que não há sobreposição.

Total=n1+n2+n3+n4+n5Total = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5

De onde vem cada valor: n1n_1 = passo 4: 9 · n2n_2 = passo 4: 7 · n3n_3 = passo 4: 11 · n4n_4 = passo 4: 6 · n5n_5 = passo 4: 8

Total=9+7+11+6+8=41=41 perıˊodosTotal = 9 + 7 + 11 + 6 + 8 = 41 = \boxed{41\ \text{per}í\text{odos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma, como 9+7+11+6+8 = 41, mas esquecer de somar um dos termos.

Resposta: 41 períodos (alternativa C)

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