Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 16 profissionais com ensino superior completo (alternativa C)..

A ideia por trás

Razão e proporção comparam duas quantidades: para cada 3 de um grupo há 5 do outro. A razão não dá os números reais, apenas a proporção entre eles. Para achar os valores reais, usamos um fator multiplicador k: os grupos valem 3k e 5k. A diferença entre eles (5k − 3k = 2k) é dada no problema, o que permite descobrir k e, com isso, os totais reais. Nesta questão, a diferença de 8 é a chave para achar k, e depois somamos os novos profissionais com superior ao grupo correspondente.

O que a questão dá

• razão entre com superior e sem superior = 3 : 5

• diferença entre sem superior e com superior = 8

• novos profissionais = 6

• novos sem superior = 2

O que queremos: o número de profissionais com ensino superior completo após o concurso

Passo 1 — Escrever as quantidades com o fator k

A razão 3:5 diz que, para cada 3 com superior, há 5 sem, mas não quantas pessoas são no total. Para transformar a razão em números reais, multiplicamos cada parte por um mesmo número k, que é o fator de proporcionalidade. Assim, com superior = 3k e sem superior = 5k.

Por que esta fórmula: Essa é a forma padrão de representar quantidades proporcionais: se a razão é a:b, os valores são a·k e b·k, com k sendo o mesmo para ambos.

De onde vem cada valor: $C$ = enunciado: razão 3 para com superior · $S$ = enunciado: razão 5 para sem superior · $k$ = fator de proporcionalidade a descobrir

Passo 2 — Montar a equação da diferença

O enunciado diz que a diferença entre sem superior e com superior é 8. Como já temos as expressões 5k e 3k, a diferença entre elas é 5k − 3k = 2k. Igualamos isso a 8 para achar k.

Por que esta fórmula: A diferença entre os dois grupos é exatamente o que o problema informa, então montamos a equação com as expressões do passo 1.

De onde vem cada valor: $5k$ = passo 1: sem superior · $3k$ = passo 1: com superior · $8$ = enunciado: diferença entre sem e com superior

Passo 3 — Descobrir o valor de k

Com a equação 2k = 8, precisamos isolar k para saber quanto vale cada parte da razão. Isso é feito dividindo os dois lados por 2.

Por que esta fórmula: Para isolar k, dividimos ambos os lados da equação pelo coeficiente de k, que é 2.

De onde vem cada valor: $8$ = passo 2: resultado de 2k · $2$ = passo 2: coeficiente de k

Passo 4 — Calcular quantos tinham superior antes

Agora que sabemos que k = 4, podemos achar o número real de profissionais com superior antes do concurso, substituindo k na expressão 3k.

Por que esta fórmula: A expressão 3k veio da razão inicial: para cada 3 com superior, multiplicamos pelo fator k.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: razão 3 para com superior · $k$ = passo 3: k = 4

Passo 5 — Calcular quantos novos têm superior

Dos 6 novos profissionais, apenas 2 não têm superior, então o restante tem. Precisamos saber quantos são para somar ao grupo.

Por que esta fórmula: O total de novos é 6, e os sem superior são 2, então os com superior são a diferença.

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: novos profissionais = 6 · $2$ = enunciado: novos sem superior = 2

Passo 6 — Somar os com superior após o concurso

O total final de profissionais com superior é a soma dos que já havia (12) com os novos que têm superior (4).

Por que esta fórmula: O problema pede o número após o concurso, então somamos os dois grupos.

De onde vem cada valor: $C$ = passo 4: 12 · $N_{sup}$ = passo 5: 4

Resposta: 16 profissionais com ensino superior completo (alternativa C).