Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 9 (alternativa B).

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos com três categorias, o diagrama de Venn divide o universo em sete regiões: três exclusivas (apenas uma cidade), três interseções duplas (exatamente duas cidades) e uma interseção tripla (as três cidades). Cada região representa um grupo distinto de pessoas, e a soma das regiões que compõem um conjunto deve ser igual ao total de pessoas que visitaram aquela cidade. A habilidade central é traduzir cada frase do enunciado em uma equação que relaciona essas regiões, lembrando que a palavra 'apenas' exclui as outras cidades. Nesta questão, precisamos montar o diagrama, preencher as regiões a partir dos dados e, ao final, somar as três regiões de interseção dupla, pois a pergunta pede exatamente duas cidades.

O que a questão dá

• 7 pessoas visitaram as três cidades

• 7 pessoas visitaram apenas Cabo Frio

• 20 pessoas visitaram Cabo Frio

• 13 pessoas visitaram Ouro Preto

• 1 pessoa visitou apenas Ouro Preto

• 18 pessoas visitaram Vila Velha

• número de pessoas que visitaram apenas Vila Velha = número que visitaram apenas Vila Velha e Cabo Frio

O que queremos: o número de pessoas que visitaram duas, e apenas duas, dessas cidades

Passo 1 — Nomear as sete regiões do diagrama

Para resolver o problema, precisamos organizar as informações. O diagrama de Venn com três conjuntos tem sete partes: três que representam quem visitou apenas uma cidade, três que representam quem visitou exatamente duas cidades, e uma que representa quem visitou as três. Dar nomes a cada parte permite escrever equações com os dados do enunciado.

Passo 2 — Preencher a interseção tripla e apenas Cabo Frio

O enunciado dá diretamente dois valores: 7 pessoas visitaram as três cidades e 7 visitaram apenas Cabo Frio. Esses são os primeiros números que podemos colocar no diagrama, e eles serão usados nas equações dos totais.

g = 7, b = 7

Passo 3 — Montar a equação do total de Cabo Frio

Sabemos que 20 pessoas visitaram Cabo Frio. Esse total é a soma de todas as regiões que estão dentro do círculo de Cabo Frio: apenas Cabo Frio (b), as duas interseções duplas que incluem Cabo Frio (d e f) e a interseção tripla (g). Com isso, podemos achar uma relação entre d e f.

Por que esta fórmula: A equação do total de um conjunto é sempre a soma das regiões que compõem aquele conjunto. Para Cabo Frio, as regiões são b, d, f e g.

De onde vem cada valor: $b$ = passo 2: 7 · $d$ = região Ouro Preto e Cabo Frio, mas não Vila Velha (desconhecida) · $f$ = região Cabo Frio e Vila Velha, mas não Ouro Preto (desconhecida) · $g$ = passo 2: 7 · $20$ = enunciado: Cabo Frio foi visitada por 20 pessoas

Passo 4 — Montar a equação do total de Ouro Preto

O total de Ouro Preto é 13, e sabemos que apenas 1 pessoa visitou apenas Ouro Preto. Isso nos dá outra relação entre as regiões, envolvendo d e e.

Por que esta fórmula: Assim como antes, o total de Ouro Preto é a soma das regiões dentro do círculo de Ouro Preto: apenas Ouro Preto (a), as interseções duplas com Ouro Preto (d e e) e a tripla (g).

De onde vem cada valor: $a$ = enunciado: apenas uma pessoa visitou apenas Ouro Preto, então a = 1 · $d$ = região Ouro Preto e Cabo Frio, mas não Vila Velha (desconhecida) · $e$ = região Ouro Preto e Vila Velha, mas não Cabo Frio (desconhecida) · $g$ = passo 2: 7 · $13$ = enunciado: 13 pessoas visitaram Ouro Preto

Passo 5 — Montar a equação do total de Vila Velha

O total de Vila Velha é 18, e o enunciado diz que o número de pessoas que visitaram apenas Vila Velha (c) é igual ao número que visitaram apenas Vila Velha e Cabo Frio (f). Isso nos dá uma relação entre c e f, que usaremos para montar a equação.

Por que esta fórmula: O total de Vila Velha é a soma das regiões dentro do círculo de Vila Velha: apenas Vila Velha (c), as interseções duplas com Vila Velha (e e f) e a tripla (g). Como c = f, substituímos c por f na equação.

De onde vem cada valor: $c$ = enunciado: c = f (número de apenas Vila Velha é igual ao de apenas Vila Velha e Cabo Frio) · $e$ = região Ouro Preto e Vila Velha, mas não Cabo Frio (desconhecida) · $f$ = região Cabo Frio e Vila Velha, mas não Ouro Preto (desconhecida) · $g$ = passo 2: 7 · $18$ = enunciado: 18 pessoas visitaram Vila Velha

Passo 6 — Resolver o sistema de equações

Agora temos três equações com três incógnitas (d, e, f). Para encontrar os valores, precisamos resolver o sistema. Vamos isolar uma variável e substituir nas outras.

Por que esta fórmula: Temos o sistema: d + f = 6, d + e = 5, e + 2f = 11. Da primeira, d = 6 - f. Da segunda, e = 5 - d = 5 - (6 - f) = f - 1. Substituindo na terceira, obtemos uma equação só com f.

De onde vem cada valor: $e$ = passo 5: e = f - 1 · $f$ = incógnita · $11$ = passo 5: resultado de e + 2f = 11

Passo 7 — Calcular d e e

Com f = 4, podemos voltar às equações anteriores para achar d e e. Esses valores são necessários para a soma final.

Por que esta fórmula: Usamos as relações d = 6 - f e e = f - 1, que já derivamos.

De onde vem cada valor: $6$ = passo 3: d + f = 6 · $f$ = passo 6: 4 · $1$ = passo 4: d + e = 5, então e = 5 - d = f - 1

d = 2, e = 3

Passo 8 — Somar as interseções duplas

A pergunta pede o número de pessoas que visitaram duas, e apenas duas, cidades. Isso corresponde exatamente às regiões d, e e f. Somamos esses valores para obter a resposta.

Por que esta fórmula: As regiões d, e e f representam, respectivamente, quem visitou Ouro Preto e Cabo Frio, Ouro Preto e Vila Velha, e Cabo Frio e Vila Velha, sem ter visitado a terceira cidade. Portanto, a soma é o total procurado.

De onde vem cada valor: $d$ = passo 7: 2 · $e$ = passo 7: 3 · $f$ = passo 6: 4

Resposta: 9 (alternativa B)