O elenco de um time de futebol é composto por 25 jogadores. Há 3 anos, a média aritmética simples da idade dos jogadores desse elenco, em anos, era igual a 25,6. Naquela ocasião, a idade dos três jogadores mais velhos do elenco era 30 anos. Hoje, a direção do time dispensará esses três jogadores mais velhos e contratará outros três jogadores, respectivamente, com 18, 20 e 21 anos. Desse modo, hoje, após as dispensas e as contratações, a média aritmética simples da idade dos jogadores do elenco, em anos, é igual a
A28,14.
B26,75.
C27,0.
D24,3.
E25,8.
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GabaritoC — 27,0.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 27,0 anos (alternativa C).
A ideia por trás
A média aritmética simples é o valor que representa um conjunto de números: somamos todos os valores e dividimos pela quantidade deles. Ela mede o 'centro' dos dados — se todos os valores fossem iguais, esse valor seria a média. A unidade é a mesma dos dados (anos, no caso). Quando todos os elementos de um conjunto mudam igualmente (como todos envelhecem 3 anos), a soma aumenta na mesma proporção, e a média também aumenta na mesma quantidade. Mas quando substituímos alguns elementos, precisamos recalcular a soma total para achar a nova média. A relação que governa é: média = soma ÷ quantidade. Se a quantidade de elementos não muda, a média só depende da soma. Nesta questão, precisamos reconstruir a soma das idades hoje, considerando o envelhecimento de todos, a saída dos três mais velhos e a entrada dos três novos, para então dividir pelo total de 25 jogadores.
O que a questão dá
número de jogadores = 25
média das idades há 3 anos = 25,6 anos
idade dos três mais velhos há 3 anos = 30 anos cada
idades dos novos contratados = 18, 20 e 21 anos
O que queremos: a nova média de idade do elenco após as dispensas e contratações
Passo 1 — Calcular a soma das idades há 3 anos
A média é soma dividida pela quantidade. Para saber a soma total das idades há 3 anos, multiplicamos a média pela quantidade de jogadores. Isso nos dá um ponto de partida para acompanhar as mudanças.
Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / n. Então, para achar a soma, invertemos: soma = média × n.
De onde vem cada valor: = enunciado: 25,6 anos · = enunciado: 25 jogadores
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar pela quantidade de jogadores, usando apenas a média.
Passo 2 — Atualizar a soma para hoje
Cada jogador envelheceu 3 anos desde aquela ocasião. Como são 25 jogadores, a soma total aumenta em 25 × 3 = 75 anos. Precisamos disso para trabalhar com as idades atuais.
Por que esta fórmula: Se cada um dos n elementos aumenta de uma mesma quantidade, a soma aumenta de n vezes essa quantidade.
De onde vem cada valor: = passo 1: 640 anos · = enunciado: 25 jogadores · = enunciado: há 3 anos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar os 3 anos a todos os jogadores, usando a soma antiga como se fosse atual.
Passo 3 — Calcular a idade atual dos três mais velhos
Os três jogadores mais velhos tinham 30 anos há 3 anos. Hoje eles têm 33 anos cada. Precisamos da soma das idades deles para subtrair da soma total.
Por que esta fórmula: Cada um envelheceu 3 anos, então a idade atual é a antiga mais 3. A soma dos três é 3 vezes a idade individual.
De onde vem cada valor: = enunciado: anos passados · = enunciado: idade há 3 anos
NÃO CAIA NESSA!
Usar 30 anos como idade atual, esquecendo de somar os 3 anos.
Passo 4 — Subtrair as idades dos dispensados
Ao dispensar os três jogadores, suas idades saem do conjunto. Subtraímos a soma deles da soma total atual para obter a soma dos 22 jogadores restantes.
Por que esta fórmula: A nova soma é a soma anterior menos a soma dos que saíram.
De onde vem cada valor: = passo 2: 715 anos · = passo 3: 99 anos
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair apenas 30 (idade antiga) em vez de 33 (idade atual).
Passo 5 — Somar as idades dos novos contratados
Os três novos jogadores entram no elenco, então suas idades devem ser somadas à soma dos restantes. Isso nos dá a soma total final com 25 jogadores.
Por que esta fórmula: A nova soma é a soma dos restantes mais a soma das idades dos contratados.
De onde vem cada valor: = passo 4: 616 anos · = enunciado: idades dos novos contratados
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar um dos novos jogadores, ou somar as idades antigas dos dispensados.
Passo 6 — Calcular a nova média
Com a soma final das idades e a quantidade de jogadores (25), aplicamos a definição de média para obter a resposta.
Por que esta fórmula: A média é a soma dividida pela quantidade de elementos.
De onde vem cada valor: = passo 5: 675 anos · = enunciado: 25 jogadores
NÃO CAIA NESSA!
Dividir por 22 (número de restantes) em vez de 25 (número final de jogadores).