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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu087348
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Escrevente Técnico Judiciário
Em uma escola de ensino médio, a razão entre o número de alunos do 2º ano e o número de alunos do 1º ano é 4/7. Já a razão entre o número de alunos do 3º ano e o número de alunos do 2º ano é 5/8. Sabendo que a diferença entre o número de alunos do 2º ano e o número de alunos do 3º ano é 27, é correto afirmar que o número de alunos do 1º ano supera a soma do número de alunos do 2º e 3º anos em
  1. A9.
  2. B11.
  3. C12.
  4. D6.
  5. E5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 9.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 9 alunos (alternativa A).

A ideia por trás

Razão e proporção são ferramentas para comparar grandezas: a razão entre dois números indica quantas vezes um é maior que o outro. Quando temos uma razão a/b, podemos representar as grandezas como a·k e b·k, onde k é uma constante de proporcionalidade — isso transforma o problema em equações simples. Nesta questão, as razões relacionam os três anos, e a diferença dada permite encontrar o valor de k e, consequentemente, o número de alunos de cada ano. O passo final é calcular a diferença pedida.

O que a questão dá

  • razão entre 2º e 1º ano = 4/7

  • razão entre 3º e 2º ano = 5/8

  • diferença entre 2º e 3º ano = 27

O que queremos: o quanto o número de alunos do 1º ano supera a soma do 2º e 3º anos

Passo 1 — Expressar o 2º ano em função do 1º

A primeira razão relaciona o 2º e o 1º ano. Para trabalhar com equações, precisamos escrever uma variável em função da outra. Como a razão é 4/7, isso significa que o 2º ano tem 4 partes para cada 7 partes do 1º ano.

Por que esta fórmula: A razão N2/N1 = 4/7 pode ser reescrita como N2 = (4/7)·N1, isolando N2.

N2=47⋅N1N_2 = \frac{4}{7} \cdot N_1

De onde vem cada valor: N2N_2 = enunciado: número de alunos do 2º ano · N1N_1 = enunciado: número de alunos do 1º ano · 47\frac{4}{7} = enunciado: razão entre 2º e 1º ano

N2=47⋅N1N_2 = \frac{4}{7} \cdot N_1
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo N2 = (7/4)·N1, o que levaria a valores errados.

Passo 2 — Expressar o 3º ano em função do 2º

A segunda razão relaciona o 3º e o 2º ano. Precisamos dela para depois relacionar o 3º com o 1º, pois a diferença dada envolve o 2º e o 3º.

Por que esta fórmula: A razão N3/N2 = 5/8 pode ser reescrita como N3 = (5/8)·N2.

N3=58⋅N2N_3 = \frac{5}{8} \cdot N_2

De onde vem cada valor: N3N_3 = enunciado: número de alunos do 3º ano · N2N_2 = passo 1: N_2 = 47\frac{4}{7} ⋅\cdot N_1 · 58\frac{5}{8} = enunciado: razão entre 3º e 2º ano

N3=58⋅N2N_3 = \frac{5}{8} \cdot N_2
NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão invertida (8/5) ou esquecer de substituir N2 pela expressão do passo 1.

Passo 3 — Substituir N2 na expressão de N3

Para usar a diferença N2 − N3 = 27, precisamos de N3 também em função de N1. Substituindo a expressão de N2 na de N3, obtemos N3 em função de N1.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde aparece N2, colocamos (4/7)·N1.

N3=58⋅(47⋅N1)=5⋅48⋅7⋅N1=2056⋅N1=514⋅N1N_3 = \frac{5}{8} \cdot \left(\frac{4}{7} \cdot N_1\right) = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 7} \cdot N_1 = \frac{20}{56} \cdot N_1 = \frac{5}{14} \cdot N_1

De onde vem cada valor: 58\frac{5}{8} = passo 2 · 47\frac{4}{7} = passo 1 · N1N_1 = enunciado: número de alunos do 1º ano

N3=58⋅47⋅N1=2056⋅N1=514⋅N1N_3 = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot N_1 = \frac{20}{56} \cdot N_1 = \frac{5}{14} \cdot N_1
N3=514⋅N1N_3 = \boxed{\frac{5}{14} \cdot N_1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação de frações: 5·4=20, 8·7=56, simplificar por 4 dá 5/14. Não simplificar ou errar a simplificação.

Passo 4 — Montar a equação da diferença

A diferença entre o 2º e o 3º ano é 27. Com N2 e N3 em função de N1, podemos montar uma equação e resolver para N1.

Por que esta fórmula: A diferença é N2 − N3 = 27. Substituímos as expressões dos passos 1 e 3.

N2−N3=27N_2 - N_3 = 27

De onde vem cada valor: N2N_2 = passo 1: 47\frac{4}{7} ⋅\cdot N_1 · N3N_3 = passo 3: 514\frac{5}{14} ⋅\cdot N_1 · 2727 = enunciado: diferença entre 2º e 3º ano

47⋅N1−514⋅N1=27\frac{4}{7} \cdot N_1 - \frac{5}{14} \cdot N_1 = 27
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de colocar as frações com o mesmo denominador antes de subtrair.

Passo 5 — Subtrair as frações

Para resolver a equação, precisamos combinar os termos com N1. Como os denominadores são diferentes (7 e 14), usamos o MMC (14).

Por que esta fórmula: Para subtrair frações, elas devem ter o mesmo denominador. 4/7 = 8/14, então subtraímos 8/14 − 5/14 = 3/14.

47−514=814−514=314\frac{4}{7} - \frac{5}{14} = \frac{8}{14} - \frac{5}{14} = \frac{3}{14}

De onde vem cada valor: 47\frac{4}{7} = passo 1 · 514\frac{5}{14} = passo 3

814−514=314=314\frac{8}{14} - \frac{5}{14} = \frac{3}{14} = \boxed{\frac{3}{14}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair os numeradores sem igualar os denominadores, resultando em 1/7.

Passo 6 — Isolar N1 na equação

A equação agora é (3/14)·N1 = 27. Para achar N1, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 3/14, que é 14/3.

Por que esta fórmula: Para isolar N1, dividimos ambos os lados por 3/14, o que equivale a multiplicar por 14/3.

N1=27⋅143N_1 = 27 \cdot \frac{14}{3}

De onde vem cada valor: 2727 = enunciado: diferença entre 2º e 3º ano · 143\frac{14}{3} = inverso de 314\frac{3}{14} do passo 5

N1=27⋅143=9⋅14=126=126 alunosN_1 = 27 \cdot \frac{14}{3} = 9 \cdot 14 = 126 = \boxed{126\ \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 27 por 3/14 em vez de 14/3, obtendo 27·3/14 ≈ 5,79, que não é inteiro.

Passo 7 — Calcular N2 e N3

Com N1 = 126, podemos calcular N2 e N3 usando as expressões dos passos 1 e 3, para depois somá-los.

Por que esta fórmula: Substituímos N1 = 126 nas fórmulas N2 = (4/7)·N1 e N3 = (5/14)·N1.

N2=47⋅126,N3=514⋅126N_2 = \frac{4}{7} \cdot 126, \quad N_3 = \frac{5}{14} \cdot 126

De onde vem cada valor: 47\frac{4}{7} = passo 1 · 514\frac{5}{14} = passo 3 · 126126 = passo 6

N2=47⋅126=72,N3=514⋅126=45N_2 = \frac{4}{7} \cdot 126 = 72, \quad N_3 = \frac{5}{14} \cdot 126 = 45

N_2 = 72, N_3 = 45

NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 4·126 = 504, dividir por 7 = 72; 5·126 = 630, dividir por 14 = 45. Confundir os denominadores.

Passo 8 — Calcular a diferença pedida

A pergunta final é quanto o 1º ano supera a soma do 2º e 3º. Com N1, N2 e N3 conhecidos, calculamos a soma e subtraímos.

Por que esta fórmula: A diferença é N1 − (N2 + N3).

N1−(N2+N3)N_1 - (N_2 + N_3)

De onde vem cada valor: N1N_1 = passo 6: 126 · N2N_2 = passo 7: 72 · N3N_3 = passo 7: 45

126−(72+45)=126−117=9=9 alunos126 - (72 + 45) = 126 - 117 = 9 = \boxed{9\ \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas N1 − N2 ou N1 − N3, esquecendo de somar N2 e N3 primeiro.

Resposta: 9 alunos (alternativa A)

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