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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
vu087349
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Escrevente Técnico Judiciário
De um terreno, em formato de um quadrado, de medida x metros de lado, foi separado um setor retangular com medidas de (x – 60) metros de largura e (x – 20) metros de comprimento, configurando uma área de 3200 m², destinado à construção de um depósito. Restou, do terreno original, para outras finalidades, uma área igual a
  1. A5400 m².
  2. B6000 m².
  3. C7200 m².
  4. D6300 m².
  5. E6800 m².
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 6800 m².

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 6800 m² (alternativa E).

A ideia por trás

A área de uma figura plana mede a superfície que ela ocupa, em metros quadrados (m²). Para um quadrado, a área é o produto do lado por ele mesmo (lado²); para um retângulo, é o produto da base pela altura. Nesta questão, o terreno original é um quadrado de lado x, e o depósito é um retângulo cujas dimensões são expressas em função de x. A área do retângulo é dada (3200 m²), o que permite montar uma equação para descobrir x. Depois, calculamos a área total do quadrado e subtraímos a área do depósito para obter a área restante. O ponto-chave é não confundir a área do depósito com a área restante.

O que a questão dá

  • lado do quadrado = x m

  • largura do retângulo = (x - 60) m

  • comprimento do retângulo = (x - 20) m

  • área do retângulo = 3200 m²

O que queremos: a área restante do terreno após separar o depósito

Passo 1 — Montar a equação da área do retângulo

A área do retângulo é dada pelo produto da largura pelo comprimento. Como conhecemos a área (3200 m²) e as dimensões em função de x, podemos igualar o produto a 3200 para encontrar x.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre base × altura. Aqui, as dimensões são (x-60) e (x-20), então o produto delas deve ser 3200.

(x−60)(x−20)=3200(x-60)(x-20) = 3200

De onde vem cada valor: x−60x-60 = enunciado: largura do retângulo · x−20x-20 = enunciado: comprimento do retângulo · 32003200 = enunciado: área do retângulo

(x−60)(x−20)=3200(x-60)(x-20) = 3200
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar a 3200, ou inverter as dimensões.

Passo 2 — Expandir o produto dos binômios

Para resolver a equação, precisamos transformá-la em uma equação do 2º grau na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandir o produto é o primeiro passo.

Por que esta fórmula: Usamos a propriedade distributiva: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.

x2−20x−60x+1200=3200x^{2} - 20x - 60x + 1200 = 3200

De onde vem cada valor: x2x^{2} = x · x · −20x-20x = x · (-20) · −60x-60x = (-60) · x · 12001200 = (-60) · (-20)

x2−80x+1200=3200x^{2} - 80x + 1200 = 3200
NÃO CAIA NESSA!

Errar os sinais ao multiplicar, por exemplo, escrever +1200 em vez de -1200? Na verdade, (-60)(-20)=+1200, então está correto. Mas cuidado com a soma dos termos -20x e -60x.

Passo 3 — Igualar a equação a zero

Para usar Bhaskara, a equação deve estar na forma ax² + bx + c = 0. Subtraímos 3200 de ambos os lados.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair 3200 dos dois lados para isolar o zero.

x2−80x+1200−3200=0x^{2} - 80x + 1200 - 3200 = 0

De onde vem cada valor: x2−80x+1200x^{2} - 80x + 1200 = passo 2 · 32003200 = enunciado: área do retângulo

x2−80x−2000=0x^{2} - 80x - 2000 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 3200, mantendo a equação igual a 3200.

Passo 4 — Calcular o discriminante (delta)

O discriminante Δ = b² - 4ac indica quantas raízes reais a equação tem e é necessário para aplicar Bhaskara.

Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, Δ = b² - 4ac. Aqui a=1, b=-80, c=-2000.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 3: -80 · aa = passo 3: 1 · cc = passo 3: -2000

Δ=(−80)2−4⋅1⋅(−2000)=6400+8000=14400=14400\Delta = (-80)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 6400 + 8000 = 14400 = \boxed{14400}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c: se usar +2000, o delta fica 6400-8000=-1600, sem raiz real.

Passo 5 — Aplicar Bhaskara para achar x

Com o delta calculado, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de x que satisfazem a equação.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é x = (-b ± √Δ) / (2a). Substituímos os valores.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 3: -80 · Δ\Delta = passo 4: 14400 · aa = passo 3: 1

x=80±144002=80±1202x = \frac{80 \pm \sqrt{14400}}{2} = \frac{80 \pm 120}{2}

x = 100 ou x = -20

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o ±, ou errar o sinal de b: como b=-80, -b=80.

Passo 6 — Descartar a raiz negativa

x representa uma medida de comprimento, que não pode ser negativa. Portanto, x = -20 é inválido.

x=100 mx = \boxed{100\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar x = -20 como válido, o que daria dimensões negativas.

Passo 7 — Calcular a área total do quadrado

A área total do terreno é a área do quadrado de lado x. Com x = 100, calculamos x².

Por que esta fórmula: Área do quadrado = lado × lado = x².

Atotal=x2A_{total} = x^{2}

De onde vem cada valor: xx = passo 6: 100 m

Atotal=1002=10000=10000 m2A_{total} = 100^{2} = 10000 = \boxed{10000\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x = 80 ou outro valor errado.

Passo 8 — Subtrair a área do depósito

A área restante é o que sobra do terreno total após retirar a área do depósito. Subtraímos 3200 m² de 10000 m².

Por que esta fórmula: Área restante = área total - área do depósito.

Arestante=Atotal−AdepoˊsitoA_{restante} = A_{total} - A_{depósito}

De onde vem cada valor: AtotalA_{total} = passo 7: 10000 m² · AdepoˊsitoA_{depósito} = enunciado: 3200 m²

Arestante=10000−3200=6800=6800 m2A_{restante} = 10000 - 3200 = 6800 = \boxed{6800\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair, respondendo 10000 m², ou subtrair errado.

Resposta: 6800 m² (alternativa E)

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