Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2024

Geometria Plana: Cálculo de Áreas de Polígonos

Gabarito: letra D. A área total do terreno é a soma da área do quadrado $BCDE$ ($2601\,\text{m}^2$) com a área do triângulo retângulo $ABE$. Como o lado do quadrado é $L = \sqrt{2601} = 51\,\text{m}$, e sabendo que $AB = AE - 21$, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABE$ ($AB^2 + AE^2 = BE^2$) para encontrar as medidas dos catetos, resultando em uma área total de $3141\,\text{m}^2$.

Análise do Problema

1. Quadrado $BCDE$: A área é $2601\,\text{m}^2$. O lado $L$ é dado por $\sqrt{2601} = 51\,\text{m}$. Assim, $BC = CD = DE = EB = 51\,\text{m}$.

2. Triângulo $ABE$: É um triângulo retângulo em $A$. A hipotenusa é o lado $BE = 51\,\text{m}$. Seja $AE = x$, então $AB = x - 21$. Pelo Teorema de Pitágoras:

   $(x - 21)^2 + x^2 = 51^2$

   $x^2 - 42x + 441 + x^2 = 2601$

   $2x^2 - 42x - 2160 = 0$

   Dividindo por 2: $x^2 - 21x - 1080 = 0$.

Resolvendo a equação de segundo grau por Bhaskara: $\Delta = (-21)^2 - 4(1)(-1080) = 441 + 4320 = 4761$. $\sqrt{4761} = 69$. $x = \frac{21 + 69}{2} = 45\,\text{m}$ (o valor negativo é descartado).

Logo, $AE = 45\,\text{m}$ e $AB = 45 - 21 = 24\,\text{m}$.

1. Cálculo das Áreas:

   • Área do quadrado $BCDE = 2601\,\text{m}^2$.

   • Área do triângulo $ABE = \frac{AB \times AE}{2} = \frac{24 \times 45}{2} = 12 \times 45 = 540\,\text{m}^2$.

   • Área total = $2601 + 540 = 3141\,\text{m}^2$.

Alternativas

• Alternativa A, B, C, E: Incorretas. Os valores não correspondem à soma das áreas calculadas ($3141\,\text{m}^2$).

• Alternativa D: Correta. Reflete exatamente o resultado da soma das áreas do quadrado e do triângulo retângulo.