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Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2024

MatemáticaÁlgebra
Código
vu087445
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Escrevente Técnico Judiciário (reaplicação)
Quatro amigos foram ao mesmo supermercado e compraram os mesmos itens, com os mesmos preços unitários, mas com alguma diferença na quantidade de cada item. Félix comprou 5 potes de molho de tomate, 3 dúzias de ovos e um pacote de macarrão e pagou por esses produtos a quantia de R$ 76,60. Mateus comprou um pote de molho de tomate, 5 dúzias de ovos e um pacote de macarrão e pagou a quantia de R$ 79,00. Paulo comprou dois potes de molho de tomate, uma dúzia de ovos e 3 pacotes de macarrão e pagou R$ 63,60.Tiago comprou 3 potes de molho de tomate, 4 dúzias de ovos e um pacote de macarrão e pagou por esses produtos a quantia de
  1. AR$ 79,40.
  2. BR$ 80,80.
  3. CR$ 77,80.
  4. DR$ 78,40.
  5. ER$ 79,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 77,80.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 77,80 (alternativa C).

A ideia por trás

Quando um problema diz que várias pessoas compram os mesmos produtos com os mesmos preços unitários, estamos diante de um sistema linear: cada compra vira uma equação, e as incógnitas são os preços de cada item. Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo; resolvê-lo significa achar valores para as incógnitas que satisfaçam todas. Aqui, as incógnitas são o preço do molho (m), da dúzia de ovos (o) e do macarrão (p). A relação que governa é a soma: o total pago é a soma dos produtos (quantidade × preço) de cada item. Se um preço aumenta, o total aumenta na proporção da quantidade comprada. A condição de validade é que os preços sejam constantes, o que o enunciado garante. Nesta questão, precisamos montar três equações a partir das compras de Félix, Mateus e Paulo, resolver o sistema para achar os preços e então calcular a compra de Tiago.

O que a questão dá

  • Félix: 5 molhos + 3 dúzias de ovos + 1 macarrão = R$ 76,60

  • Mateus: 1 molho + 5 dúzias de ovos + 1 macarrão = R$ 79,00

  • Paulo: 2 molhos + 1 dúzia de ovos + 3 macarrões = R$ 63,60

O que queremos: o valor pago por Tiago: 3 molhos + 4 dúzias de ovos + 1 macarrão

Passo 1 — Montar as equações das compras

Para transformar o problema em matemática, precisamos escrever cada compra como uma equação. Cada equação diz: a soma dos preços dos itens comprados é igual ao total pago. Isso é o coração do sistema linear.

Por que esta fórmula: Cada compra é uma combinação linear: quantidade de molho vezes preço do molho, mais quantidade de ovos vezes preço da dúzia, mais quantidade de macarrão vezes preço do pacote, igual ao total pago.

5m+3o+p=76,605m + 3o + p = 76{,}60

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: Félix comprou 5 potes de molho · mm = incógnita: preço de 1 pote de molho · 33 = enunciado: Félix comprou 3 dúzias de ovos · oo = incógnita: preço de 1 dúzia de ovos · pp = incógnita: preço de 1 pacote de macarrão · 76,6076{,}60 = enunciado: Félix pagou R$ 76,60

5m+3o+p=76,605m + 3o + p = 76{,}60
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o macarrão (coeficiente 1) ou trocar as quantidades.

Passo 2 — Montar as equações de Mateus e Paulo

Precisamos de três equações para achar três incógnitas. Já temos a de Félix; agora escrevemos as de Mateus e Paulo da mesma forma.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: cada compra é a soma dos produtos quantidade × preço.

m+5o+p=79,00e2m+o+3p=63,60m + 5o + p = 79{,}00 \quad \text{e} \quad 2m + o + 3p = 63{,}60

De onde vem cada valor: mm = enunciado: Mateus comprou 1 molho · 5o5o = enunciado: Mateus comprou 5 dúzias de ovos · pp = enunciado: Mateus comprou 1 macarrão · 79,0079{,}00 = enunciado: Mateus pagou R$ 79,00 · 2m2m = enunciado: Paulo comprou 2 molhos · oo = enunciado: Paulo comprou 1 dúzia de ovos · 3p3p = enunciado: Paulo comprou 3 macarrões · 63,6063{,}60 = enunciado: Paulo pagou R$ 63,60

m+5o+p=79,00e2m+o+3p=63,60m + 5o + p = 79{,}00 \quad \text{e} \quad 2m + o + 3p = 63{,}60
NÃO CAIA NESSA!

Confundir as quantidades de cada amigo.

Passo 3 — Eliminar o macarrão subtraindo equações

Para resolver o sistema, uma estratégia é ir eliminando incógnitas. Subtrair a equação de Mateus da de Félix faz o 'p' sumir, porque ambos têm 1 pacote de macarrão. Isso nos dá uma relação só entre m e o.

Por que esta fórmula: Subtração de equações: (equação de Félix) - (equação de Mateus) = (lado esquerdo) - (lado esquerdo) = (lado direito) - (lado direito).

(5m+3o+p)−(m+5o+p)=76,60−79,00(5m + 3o + p) - (m + 5o + p) = 76{,}60 - 79{,}00

De onde vem cada valor: 5m+3o+p5m + 3o + p = passo 1 · m+5o+pm + 5o + p = passo 2 · 76,6076{,}60 = passo 1 · 79,0079{,}00 = passo 2

(5m+3o+p)−(m+5o+p)=76,60−79,00(5m + 3o + p) - (m + 5o + p) = 76{,}60 - 79{,}00
4m−2o=−2,404m - 2o = \boxed{-2{,}40}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: lembre que - (m + 5o + p) = -m - 5o - p.

Passo 4 — Simplificar e isolar o preço dos ovos

A equação 4m - 2o = -2,40 ainda tem duas incógnitas. Dividindo por 2 e isolando 'o', ficamos com uma expressão que poderemos substituir nas outras equações.

Por que esta fórmula: Dividir todos os termos por 2 simplifica; isolar 'o' significa deixá-lo sozinho de um lado, o que permite substituí-lo depois.

2m−o=−1,20⇒o=2m+1,202m - o = -1{,}20 \Rightarrow o = 2m + 1{,}20

De onde vem cada valor: 2m−o=−1,202m - o = -1{,}20 = passo 3: dividindo por 2 · o=2m+1,20o = 2m + 1{,}20 = isolando o: somar o e 1,20 dos dois lados

o=2m+1,20o = 2m + 1{,}20
o=2m+1,20o = \boxed{2m + 1{,}20}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar: -o = -1,20 - 2m, então o = 2m + 1,20.

Passo 5 — Eliminar o macarrão de novo com Paulo

Ainda precisamos de outra relação sem 'p'. Subtraindo a equação de Mateus da de Paulo, o 'p' também some (3p - p = 2p, não some! Na verdade, subtrair dá 2p, então não some. Vamos usar outra combinação: subtrair a equação de Mateus da de Paulo dá 2p, então não some. Precisamos de outra estratégia: usar a equação de Félix e a de Mateus para achar p em função de m, ou usar a equação de Paulo com a de Félix. Vamos fazer: subtrair a equação de Mateus da de Paulo, mas isso dá 2p, então não some. Melhor: subtrair a equação de Mateus da de Félix já fizemos. Agora, subtrair a equação de Mateus da de Paulo: (2m + o + 3p) - (m + 5o + p) = 63,60 - 79,00 => m - 4o + 2p = -15,40. Isso ainda tem p. Mas podemos substituir o e depois achar p. Vamos fazer isso.

Por que esta fórmula: Subtração de equações para obter uma nova equação com menos incógnitas, mas aqui ainda sobra p; vamos usar essa equação depois de substituir o.

(2m+o+3p)−(m+5o+p)=63,60−79,00(2m + o + 3p) - (m + 5o + p) = 63{,}60 - 79{,}00

De onde vem cada valor: 2m+o+3p2m + o + 3p = passo 2: equação de Paulo · m+5o+pm + 5o + p = passo 2: equação de Mateus · 63,6063{,}60 = passo 2 · 79,0079{,}00 = passo 2

(2m+o+3p)−(m+5o+p)=63,60−79,00(2m + o + 3p) - (m + 5o + p) = 63{,}60 - 79{,}00
m−4o+2p=−15,40m - 4o + 2p = \boxed{-15{,}40}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração dos coeficientes: 2m - m = m, o - 5o = -4o, 3p - p = 2p.

Passo 6 — Substituir o preço dos ovos na equação

Agora temos uma equação com m, o e p. Como já sabemos que o = 2m + 1,20, substituímos para ficar só com m e p.

Por que esta fórmula: Substituição: trocar 'o' pela expressão equivalente, reduzindo o número de incógnitas.

m−4(2m+1,20)+2p=−15,40m - 4(2m + 1{,}20) + 2p = -15{,}40

De onde vem cada valor: mm = passo 5 · 44 = passo 5: coeficiente de o · 2m+1,202m + 1{,}20 = passo 4: expressão de o · 2p2p = passo 5 · −15,40-15{,}40 = passo 5

m−4(2m+1,20)+2p=−15,40m - 4(2m + 1{,}20) + 2p = -15{,}40
−7m+2p=−10,60-7m + 2p = \boxed{-10{,}60}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: -4(2m + 1,20) = -8m - 4,80.

Passo 7 — Isolar o preço do macarrão

Com a equação -7m + 2p = -10,60, podemos isolar p em função de m, para depois substituir na equação de Mateus.

Por que esta fórmula: Isolar p: somar 7m dos dois lados e dividir por 2.

2p=7m−10,60⇒p=3,5m−5,302p = 7m - 10{,}60 \Rightarrow p = 3{,}5m - 5{,}30

De onde vem cada valor: 2p2p = passo 6 · 7m7m = passo 6: -7m + 2p = -10,60 => 2p = 7m - 10,60 · −10,60-10{,}60 = passo 6

p=3,5m−5,30p = 3{,}5m - 5{,}30
p=3,5m−5,30p = \boxed{3{,}5m - 5{,}30}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 7/2 = 3,5 e -10,60/2 = -5,30.

Passo 8 — Substituir tudo na equação de Mateus

Agora temos o e p em função de m. Substituindo na equação de Mateus, sobra só m, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição total: trocar o e p pelas expressões, ficando uma equação só com m.

m+5(2m+1,20)+(3,5m−5,30)=79,00m + 5(2m + 1{,}20) + (3{,}5m - 5{,}30) = 79{,}00

De onde vem cada valor: mm = passo 2: equação de Mateus · 55 = passo 2: coeficiente de o · 2m+1,202m + 1{,}20 = passo 4 · 3,5m−5,303{,}5m - 5{,}30 = passo 7 · 79,0079{,}00 = passo 2

m+5(2m+1,20)+(3,5m−5,30)=79,00m + 5(2m + 1{,}20) + (3{,}5m - 5{,}30) = 79{,}00
14,5m+0,70=79,0014{,}5m + 0{,}70 = \boxed{79{,}00}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos coeficientes de m: 1 + 10 + 3,5 = 14,5.

Passo 9 — Resolver para o preço do molho

A equação 14,5m + 0,70 = 79,00 é simples de resolver: subtrair 0,70 e dividir por 14,5.

Por que esta fórmula: Isolar m: subtrair 0,70 dos dois lados e dividir pelo coeficiente.

14,5m=78,30⇒m=5,4014{,}5m = 78{,}30 \Rightarrow m = 5{,}40

De onde vem cada valor: 14,5m14{,}5m = passo 8 · 78,3078{,}30 = passo 8: 79,00 - 0,70 · 5,405{,}40 = 78,30 ÷ 14,5

m=78,30÷14,5m = 78{,}30 \div 14{,}5
m=5,40m = \boxed{5{,}40}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 78,30 / 14,5 = 5,40.

Passo 10 — Calcular os preços dos ovos e do macarrão

Com m conhecido, voltamos às expressões para achar o e p.

Por que esta fórmula: Substituir m = 5,40 nas expressões do passo 4 e 7.

o=2(5,40)+1,20ep=3,5(5,40)−5,30o = 2(5{,}40) + 1{,}20 \quad \text{e} \quad p = 3{,}5(5{,}40) - 5{,}30

De onde vem cada valor: 2(5,40)+1,202(5{,}40) + 1{,}20 = passo 4 com m = 5,40 · 3,5(5,40)−5,303{,}5(5{,}40) - 5{,}30 = passo 7 com m = 5,40

o=2×5,40+1,20=10,80+1,20=12,00ep=3,5×5,40−5,30=18,90−5,30=13,60o = 2 \times 5{,}40 + 1{,}20 = 10{,}80 + 1{,}20 = 12{,}00 \quad \text{e} \quad p = 3{,}5 \times 5{,}40 - 5{,}30 = 18{,}90 - 5{,}30 = 13{,}60

o=12,00ep=13,60o = 12{,}00 \quad \text{e} \quad p = 13{,}60

NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 2 × 5,40 = 10,80; 3,5 × 5,40 = 18,90.

Passo 11 — Calcular o total da compra de Tiago

Agora que temos os preços unitários, calculamos quanto Tiago pagou: 3 molhos, 4 dúzias de ovos e 1 macarrão.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos produtos quantidade × preço.

3m+4o+p3m + 4o + p

De onde vem cada valor: 3m3m = enunciado: Tiago comprou 3 molhos · 4o4o = enunciado: Tiago comprou 4 dúzias de ovos · pp = enunciado: Tiago comprou 1 macarrão

3×5,40+4×12,00+13,60=77,803 \times 5{,}40 + 4 \times 12{,}00 + 13{,}60 = \boxed{77{,}80}
NÃO CAIA NESSA!

Usar os preços errados ou esquecer de multiplicar pelas quantidades.

Resposta: R$ 77,80 (alternativa C)

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