Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 44% (alternativa D).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de representar uma parte de um todo, dividindo-o em 100 partes iguais. Quando dizemos '15% votaram', significa que de cada 100 funcionários, 15 votaram. Nesta questão, as porcentagens são aplicadas sucessivamente sobre o grupo que ainda não votou, e não sobre o total inicial. Isso é comum em problemas de 'descontos sucessivos' ou 'crescimento percentual', onde cada porcentagem incide sobre o valor restante. A cada etapa, precisamos calcular o que sobra após a votação, multiplicando os fatores de permanência. O fator de permanência é o complemento da porcentagem que sai: se 15% votam, permanecem 85% (100% - 15%). Assim, o percentual final de quem não votou é o produto dos fatores de permanência de cada horário.

O que a questão dá

• 1º horário: 15% dos funcionários votaram

• 2º horário: 20% dos que ainda não haviam votado votaram

• 3º horário: 6 em cada 17 dos que ainda não haviam votado votaram

• demais não votaram

O que queremos: a porcentagem de funcionários que não votaram

Passo 1 — Calcular o que sobra após o 1º horário

Precisamos acompanhar o que resta após cada etapa, porque as próximas porcentagens incidem sobre o restante, não sobre o total. Se 15% votaram, o que não votou é o complemento: 100% - 15% = 85%.

Por que esta fórmula: O complemento de uma porcentagem é dado por 100% menos a porcentagem. Isso porque o total é 100% e o que sobra é o que não foi usado.

De onde vem cada valor: $100\%$ = total de funcionários (100%) · $15\%$ = enunciado: 15% votaram no 1º horário

Passo 2 — Calcular o que sobra após o 2º horário

No 2º horário, 20% dos que ainda não haviam votado votaram. Como restavam 85% do total, precisamos aplicar 20% sobre esses 85%. O que sobra é 80% dos 85%, pois se 20% votam, 80% permanecem.

Por que esta fórmula: Para achar o restante após uma porcentagem, multiplicamos o valor atual pelo complemento da porcentagem (100% - 20% = 80%). Isso é mais direto do que calcular a parte que votou e subtrair.

De onde vem cada valor: $R_1$ = passo 1: 85% · $20\%$ = enunciado: 20% dos que ainda não haviam votado votaram

Passo 3 — Calcular a fração que não votou no 3º horário

No 3º horário, votaram 6 em cada 17 dos que ainda não haviam votado. Isso significa que, de cada 17 pessoas, 6 votaram e 11 não votaram. Precisamos da fração que não votou para multiplicar pelo restante.

Por que esta fórmula: A fração que não votou é o complemento da fração que votou: 1 - 6/17 = 11/17. Isso porque o total é 17/17.

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: 6 em cada 17 votaram · $17$ = enunciado: 6 em cada 17 (total de 17)

Passo 4 — Multiplicar os restantes para achar quem não votou

Agora temos o restante após o 2º horário (68%) e a fração que não votou no 3º horário (11/17). Multiplicando esses valores, obtemos a porcentagem final de quem não votou, pois cada etapa reduz o grupo.

Por que esta fórmula: Em variações sucessivas, o valor final é o produto dos fatores de permanência. Aqui, o fator de permanência do 3º horário é 11/17, pois é a fração que não votou.

De onde vem cada valor: $R_2$ = passo 2: 68% · $\frac{11}{17}$ = passo 3: fração que não votou no 3º horário

Resposta: 44% (alternativa D)