Questão de Matemática — Razão e Proporção; e Números Proporcionais — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 2/3 (alternativa E).

A ideia por trás

Razão e proporção comparam duas grandezas: aqui, o número de homens e de mulheres. A razão 7/3 significa que, para cada 7 homens, há 3 mulheres. Quando uma razão é dada, podemos representar as quantidades como múltiplos de uma constante k: homens = 7k, mulheres = 3k. A soma dessas partes dá o total, o que permite descobrir k e, com isso, os valores iniciais. A cada mês, a diferença entre homens e mulheres muda: os homens diminuem em x e as mulheres aumentam em x, mantendo o total constante. Após n meses, as quantidades são (homens iniciais − n·x) e (mulheres iniciais + n·x). A razão final fornecida permite montar uma equação e achar x. Nesta questão, usamos a razão final após 5 meses para achar x, e depois aplicamos o mesmo x para o 3º mês.

O que a questão dá

• total de funcionários = 1250

• razão inicial homens/mulheres = 7/3

• razão final após 5 meses = 1/4

• política: demitir x homens e admitir x mulheres por mês

O que queremos: a razão entre homens e mulheres após 3 meses

Passo 1 — Descobrir quantos homens e mulheres havia no início

Precisamos dos valores iniciais para depois calcular as mudanças mensais. A razão 7/3 nos diz que, se dividirmos o total em 10 partes iguais (7+3), 7 partes são homens e 3 são mulheres. Assim, cada parte vale 1250 ÷ 10 = 125.

Por que esta fórmula: Como a razão é 7/3, representamos homens = 7k e mulheres = 3k. A soma é 10k, que deve ser igual ao total de 1250. Isso permite achar k e, consequentemente, os valores iniciais.

De onde vem cada valor: $10$ = soma das partes da razão (7+3) · $k$ = constante de proporcionalidade · $1250$ = enunciado: total de funcionários

Passo 2 — Calcular o número inicial de homens e mulheres

Com k = 125, multiplicamos pelas partes da razão para obter as quantidades reais. Isso é necessário para acompanhar as mudanças mensais.

Por que esta fórmula: Homens = 7k e mulheres = 3k, pois a razão é 7:3. Substituímos k pelo valor encontrado.

De onde vem cada valor: $7$ = razão inicial: 7 partes de homens · $3$ = razão inicial: 3 partes de mulheres · $k$ = passo 1: k = 125

Passo 3 — Montar a equação para a razão após 5 meses

A cada mês, demite-se x homens e admite-se x mulheres. Após 5 meses, os homens diminuem em 5x e as mulheres aumentam em 5x. A razão final é 1/4, o que nos dá uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: A razão é homens dividido por mulheres. Após 5 meses, homens = 875 − 5x e mulheres = 375 + 5x. Igualamos essa razão a 1/4.

De onde vem cada valor: $875$ = passo 2: homens iniciais · $375$ = passo 2: mulheres iniciais · $5$ = enunciado: 5 meses · $x$ = número mensal de demissões/admissões (incógnita)

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

Precisamos do valor de x para calcular as quantidades após 3 meses. A equação do passo anterior é resolvida multiplicando cruzado e isolando x.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: 4 × (875 − 5x) = 1 × (375 + 5x). Depois, isolamos x.

De onde vem cada valor: $4$ = denominador da razão 1/4 · $875 - 5x$ = passo 3: homens após 5 meses · $375 + 5x$ = passo 3: mulheres após 5 meses

Passo 5 — Calcular homens e mulheres após 3 meses

Com x = 125, aplicamos a mesma política por 3 meses: homens diminuem em 3·125 e mulheres aumentam em 3·125. Isso nos dá as quantidades no terceiro mês.

Por que esta fórmula: Após n meses, homens = H_0 − n·x e mulheres = M_0 + n·x. Aqui n = 3.

De onde vem cada valor: $875$ = passo 2: homens iniciais · $375$ = passo 2: mulheres iniciais · $3$ = enunciado: 3 meses · $125$ = passo 4: x = 125

Passo 6 — Calcular a razão homens/mulheres após 3 meses

A razão pedida é a divisão entre o número de homens e o de mulheres no terceiro mês. Com os valores calculados, basta dividir e simplificar.

Por que esta fórmula: Razão = H_3 / M_3. Dividimos 500 por 750 e simplificamos por 250.

De onde vem cada valor: $500$ = passo 5: homens após 3 meses · $750$ = passo 5: mulheres após 3 meses

Resposta: 2/3 (alternativa E)