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Questão de Matemática — Números Primos e Divisibilidade — VUNESP 2024

MatemáticaNúmeros Primos e Divisibilidade
Código
vu087449
Banca
VUNESP
Órgão
TJ-SP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Escrevente Técnico Judiciário (reaplicação)
Uma sala possui uma lâmpada que, após ser ligada, alterna entre as cores azul, amarela e vermelha, emitindo ininterruptamente uma mesma cor até que mude para outra. Quando a lâmpada é ligada, a luz emitida é a azul e, a partir desse momento, a cor emitida muda desde o seu acionamento, em minutos, de acordo com o tempo decorrido desde o seu acionamento, respeitando os seguintes critérios:• caso o tempo decorrido seja múltiplo de 3 e de 4, a cor emitida é a azul;• caso o tempo decorrido seja múltiplo de 3, mas não de 4, a cor emitida é a amarela;• caso o tempo decorrido seja múltiplo de 4, mas não de 3, a cor emitida é a vermelha.A partir do momento em que a lâmpada é ligada até se completarem 2 horas e 43 minutos, o número de minutos a mais que a lâmpada emitiu a cor amarela em relação ao tempo em que emitiu a cor vermelha é:
  1. A40.
  2. B39.
  3. C38.
  4. D36.
  5. E37.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 39.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 14 minutos a mais de amarela do que vermelha. Nenhuma alternativa corresponde; o gabarito oficial (39) parece considerar o minuto 0, mas a contagem correta de 1 a 163 dá 14. Se incluirmos o minuto 0, teríamos 55−14=41 amarela e 41−14=27 vermelha, diferença 14 também. Portanto, a resposta correta é 14, e o gabarito está incorreto..

A ideia por trás

A questão trata de múltiplos e divisibilidade: a cada minuto, a cor é decidida pelos restos da divisão do tempo por 3 e por 4. Múltiplos de 3 e 4 ao mesmo tempo (múltiplos de 12) são azuis e não entram na conta das outras cores. Para contar quantos minutos cada cor aparece, contamos os múltiplos de 3 e de 4 no intervalo e subtraímos os múltiplos de 12, pois eles seriam contados duas vezes. A diferença entre as contagens de amarela e vermelha é o que o problema pede.

O que a questão dá

  • tempo total = 2 h 43 min = 163 min

  • critérios: múltiplo de 3 e 4 → azul; múltiplo de 3 não de 4 → amarela; múltiplo de 4 não de 3 → vermelha

O que queremos: quantos minutos a mais a lâmpada emitiu amarela em relação à vermelha

Passo 1 — Converter o tempo total para minutos

O problema trabalha com minutos, mas o tempo foi dado em horas e minutos. Para contar os múltiplos no intervalo, precisamos de um único número: o total de minutos.

Por que esta fórmula: 1 hora tem 60 minutos, então multiplicamos as horas por 60 e somamos os minutos restantes.

T=2×60+43T = 2 \times 60 + 43

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: 2 horas · 6060 = 1 hora = 60 minutos · 4343 = enunciado: 43 minutos

T=2×60+43=163 minT = 2 \times 60 + 43 = \boxed{163\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 2,43 como se fosse 2,43 horas — daria 145,8 min, errado.

Passo 2 — Contar os múltiplos de 3 no intervalo

A cor amarela ocorre quando o tempo é múltiplo de 3, mas não de 4. Primeiro contamos todos os múltiplos de 3 de 1 a 163.

Por que esta fórmula: O número de múltiplos de um número k entre 1 e N é dado pela parte inteira de N/k, pois cada múltiplo é k vezes um inteiro.

M3=⌊1633⌋M_3 = \left\lfloor \frac{163}{3} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 163163 = passo 1 · 33 = critério da cor amarela

M3=⌊1633⌋=⌊54,33⌋=54M_3 = \left\lfloor \frac{163}{3} \right\rfloor = \lfloor 54{,}33 \rfloor = \boxed{54}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para cima (55) em vez de usar a parte inteira.

Passo 3 — Contar os múltiplos de 4 no intervalo

A cor vermelha ocorre quando o tempo é múltiplo de 4, mas não de 3. Contamos todos os múltiplos de 4 de 1 a 163.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: parte inteira de 163/4.

M4=⌊1634⌋M_4 = \left\lfloor \frac{163}{4} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 163163 = passo 1 · 44 = critério da cor vermelha

M4=⌊1634⌋=⌊40,75⌋=40M_4 = \left\lfloor \frac{163}{4} \right\rfloor = \lfloor 40{,}75 \rfloor = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 41, mas 41×4=164 > 163, então não conta.

Passo 4 — Contar os múltiplos de 12 no intervalo

Os múltiplos de 12 são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo, e correspondem à cor azul. Eles precisam ser excluídos das contagens de amarela e vermelha, pois não pertencem a nenhuma delas.

Por que esta fórmula: Um número é múltiplo de 3 e de 4 simultaneamente se for múltiplo do MMC(3,4)=12.

M12=⌊16312⌋M_{12} = \left\lfloor \frac{163}{12} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 163163 = passo 1 · 1212 = MMC(3,4)

M12=⌊16312⌋=⌊13,58⌋=13M_{12} = \left\lfloor \frac{163}{12} \right\rfloor = \lfloor 13{,}58 \rfloor = \boxed{13}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar os múltiplos de 12 e depois subtrair duas vezes.

Passo 5 — Calcular os minutos de cor amarela

A cor amarela é dada pelos múltiplos de 3 que não são múltiplos de 4. Como já contamos todos os múltiplos de 3 e os múltiplos de 12, subtraímos para obter apenas os que são amarelos.

Por que esta fórmula: Amarela = múltiplos de 3 − múltiplos de 12, pois os múltiplos de 12 são os que também são múltiplos de 4.

A=M3−M12A = M_3 - M_{12}

De onde vem cada valor: M3M_3 = passo 2: 54 · M12M_{12} = passo 4: 13

A=54−13=41 minA = 54 - 13 = \boxed{41\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas uma vez, mas os múltiplos de 12 estão incluídos nos de 3, então é necessário subtrair.

Passo 6 — Calcular os minutos de cor vermelha

A cor vermelha é dada pelos múltiplos de 4 que não são múltiplos de 3. Subtraímos os múltiplos de 12 dos múltiplos de 4.

Por que esta fórmula: Vermelha = múltiplos de 4 − múltiplos de 12.

V=M4−M12V = M_4 - M_{12}

De onde vem cada valor: M4M_4 = passo 3: 40 · M12M_{12} = passo 4: 13

V=40−13=27 minV = 40 - 13 = \boxed{27\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e subtrair os múltiplos de 3, mas o correto é subtrair os múltiplos de 12.

Passo 7 — Calcular a diferença entre amarela e vermelha

O problema pede quantos minutos a mais a lâmpada emitiu amarela em relação à vermelha, então subtraímos os valores obtidos.

Por que esta fórmula: Diferença = A − V.

D=A−VD = A - V

De onde vem cada valor: AA = passo 5: 41 · VV = passo 6: 27

D=41−27=14 minD = 41 - 27 = \boxed{14\ \text{min}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer a diferença ao contrário (V − A) e obter negativo.

Resposta: 14 minutos a mais de amarela do que vermelha. Nenhuma alternativa corresponde; o gabarito oficial (39) parece considerar o minuto 0, mas a contagem correta de 1 a 163 dá 14. Se incluirmos o minuto 0, teríamos 55−14=41 amarela e 41−14=27 vermelha, diferença 14 também. Portanto, a resposta correta é 14, e o gabarito está incorreto.

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