Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — VUNESP 2024

Geometria Plana: Razão entre áreas de regiões retangulares

Gabarito: letra E. A razão entre a área da Região 2 e a área da Região 1 é 2/7. A Região 2 é um triângulo retângulo com base igual à largura da folha ($b$) e altura igual a uma das partes da lateral ($h_2$), enquanto a Região 1 é um trapézio retângulo com altura igual à outra parte da lateral ($h_1$).

Análise da resolução

Seja $b$ a largura da folha e $H$ a altura total da lateral direita. O ponto E divide a lateral em duas partes, $h_1$ e $h_2$, tais que $h_1 + h_2 = H$. A razão entre essas partes é dada por $\frac{h_2}{h_1} = \frac{4}{5}$. Podemos expressar essas medidas em função de uma constante $k$: $h_2 = 4k$ e $h_1 = 5k$. Assim, a altura total é $H = 9k$.

1. Área da Região 2 (Triângulo):

   $A_2 = \frac{b \cdot h_2}{2} = \frac{b \cdot 4k}{2} = 2bk$

1. Área da Região 1 (Trapézio):

   A Região 1 é um trapézio com bases $b$ (largura da folha) e altura $h_1 = 5k$. A área total da folha é $A_{total} = b \cdot H = b \cdot 9k = 9bk$. Como $A_1 = A_{total} - A_2$, temos:

   $A_1 = 9bk - 2bk = 7bk$

1. Razão pedida:

   A razão entre a área da Região 2 e a área da Região 1 é:

   $\frac{A_2}{A_1} = \frac{2bk}{7bk} = \frac{2}{7}$

Gabarito: letra E.