Questão de Matemática — Análise de Tabelas e Gráficos — VUNESP 2024

Análise de Gráfico de Setores: Proporcionalidade e Sistemas de Equações

Gabarito: letra B. O número de elementos no setor C é 140. A resolução baseia-se na relação de proporcionalidade direta entre a medida do ângulo central de um setor e o número de elementos que ele representa, permitindo montar um sistema de equações a partir das informações fornecidas.

Seja $A$, $B$ e $C$ o número de elementos em cada setor. O enunciado estabelece as seguintes relações:

1. $A = \frac{1}{4}B \implies B = 4A$

2. $C = A + k$, onde $k$ é uma constante de proporcionalidade relacionada aos 180º de diferença angular. Como o número de elementos é diretamente proporcional ao ângulo central, a diferença de 180º entre os ângulos de C e A implica que a diferença entre o número de elementos de C e A é proporcional a essa diferença angular. Seja $x$ o número de elementos por grau: $C - A = 180x$.

Contudo, podemos simplificar utilizando a relação de proporcionalidade direta: $C = A + \text{constante}$. O enunciado informa que a soma $B + C = 220$. Substituindo $B$ por $4A$, temos $4A + C = 220$. Como $C = A + \text{diferença}$, e sabendo que a soma dos ângulos de um círculo é 360º, podemos definir as proporções. Se $A = \alpha$, então $B = 4\alpha$ e $C = \alpha + \text{valor proporcional a 180º}$.

Considerando a soma dos ângulos: $\alpha + 4\alpha + (\alpha + \text{valor}) = 360º$. A diferença de 180º entre C e A significa que $C = A + 180º$. Assim, a soma dos ângulos é $\alpha + 4\alpha + (\alpha + 180º) = 360º \implies 6\alpha = 180º \implies \alpha = 30º$. Logo:

• Ângulo de A = 30º

• Ângulo de B = 4 × 30º = 120º

• Ângulo de C = 30º + 180º = 210º

Agora, aplicamos a proporção ao número de elementos. Sabemos que $B + C = 220$. Em termos de ângulos: $120º + 210º = 330º$ correspondem a 220 elementos. O valor de 1 grau em elementos é: $\frac{220}{330} = \frac{2}{3}$ elementos/grau. O número de elementos em C é: $210º \times \frac{2}{3} = 140$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 145 não condiz com a proporção calculada de 140 elementos para o setor C.

Alternativa B — ✅ Correta

Conforme demonstrado, o setor C possui 140 elementos, respeitando as proporções angulares e a soma dada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 130 é inferior ao resultado correto de 140.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 125 não satisfaz a condição de soma $B+C=220$ com as proporções angulares estabelecidas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 135 não corresponde ao cálculo derivado da proporcionalidade direta entre ângulos e elementos.