Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
vu088132
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
V - - Assistente Operacional III - Área de Atuação: Conservação e Manutenção
André coleciona miniaturas de carros e decidiu colocar algumas delas para enfeitar o seu quarto. Ele possui 3 carros de Rali, de cores diferentes, e 6 carros esportivos, sendo: 1 Dodge, 1 Mazda, 1 Nissan, 1 Maserati, 1 Aston Martin e 1 Ferrari. André decidiu colocar 3 desses carros sobre a mesa, e 4 sobre a estante, sendo que os carros de Rali devem, necessariamente, ficar sobre a mesa. Se a posição em que serão colocados esses carros é importante para André, o número total de maneiras como ele pode dispor esses carros é igual a
A1800.
B2160.
C2850.
D3600.
E6048.
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GabaritoB — 2160.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 2160 maneiras (alternativa B).
A ideia por trás
Na análise combinatória, quando a ordem dos elementos importa, usamos permutação (se usamos todos os elementos) ou arranjo (se usamos apenas parte). A permutação de n elementos distintos é n! (produto de n até 1), e o arranjo de n elementos tomados k a k é n!/(n-k)!, que também pode ser calculado como o produto dos k primeiros fatores decrescentes de n. Aqui, a posição é importante tanto na mesa quanto na estante, então usamos essas ferramentas. O princípio multiplicativo diz que, se uma escolha tem a maneiras e outra tem b maneiras, o total é a × b, desde que sejam independentes. Nesta questão, precisamos permutar os 3 carros de Rali na mesa e arranjar 4 dos 6 esportivos na estante, multiplicando os resultados.
O que a questão dá
3 carros de Rali, de cores diferentes
6 carros esportivos distintos
3 carros na mesa (Rali obrigatórios)
4 carros na estante
posição é importante
O que queremos: o número total de maneiras de dispor os carros
Passo 1 — Permutar os 3 carros de Rali na mesa
Os carros de Rali são obrigatórios na mesa e são distintos (cores diferentes). Como a posição importa, precisamos contar de quantas formas podemos ordená-los nas 3 vagas. Isso é uma permutação de 3 elementos.
Por que esta fórmula: Permutação de n elementos distintos é n!, pois para a primeira vaga temos n opções, para a segunda n-1, e assim por diante. Aqui n=3.
De onde vem cada valor: = enunciado: 3 carros de Rali
NÃO CAIA NESSA!
Tratar os carros de Rali como idênticos, resultando em 1 em vez de 6.
Passo 2 — Arranjar 4 dos 6 esportivos na estante
Depois de ocupar a mesa, restam 6 carros esportivos distintos para preencher 4 vagas na estante. Como a ordem importa, usamos arranjo simples.
Por que esta fórmula: Arranjo de n elementos tomados k a k é o produto dos k primeiros fatores decrescentes de n, pois escolhemos e ordenamos k elementos. Aqui n=6, k=4.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 carros esportivos · = enunciado: 4 carros na estante
NÃO CAIA NESSA!
Usar combinação C(6,4) = 15, esquecendo que a ordem importa.
Passo 3 — Multiplicar as possibilidades da mesa e da estante
As escolhas para a mesa e para a estante são independentes: qualquer disposição na mesa pode ser combinada com qualquer disposição na estante. O princípio multiplicativo diz que o total é o produto.
Por que esta fórmula: Princípio multiplicativo: se um evento tem m maneiras e outro tem n maneiras, juntos têm m × n maneiras.
De onde vem cada valor: = passo 1: 6 · = passo 2: 360
NÃO CAIA NESSA!
Somar em vez de multiplicar, ou errar o cálculo de 6 × 360.