Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a Antony nasceu em 2007, alternativa E..

A ideia por trás

Em problemas de idade, trabalhamos com equações que relacionam as idades atuais e futuras. A porcentagem é uma razão: 75% significa 75 por 100, ou seja, 0,75. Quando dizemos que uma idade futura é 75% de outra, estamos igualando a primeira a 0,75 vezes a segunda. A chave é montar um sistema de equações lineares a partir das informações do enunciado, resolvê-lo para achar a idade atual de Antony e, então, subtrair essa idade do ano atual para obter o ano de nascimento, já que todos já fizeram aniversário.

O que a questão dá

• soma das idades atuais = 67 anos

• Celso é 2 anos mais velho que Bruno

• daqui a 4 anos, idade de Antony = 75% da idade de Bruno

• ano atual = 2024

O que queremos: o ano de nascimento de Antony

Passo 1 — Definir as incógnitas das idades

Precisamos de nomes para as idades atuais para transformar as frases do enunciado em equações. Vamos chamar de A, B e C as idades atuais de Antony, Bruno e Celso, respectivamente.

Passo 2 — Montar a equação da soma das idades

O enunciado diz que a soma das idades atuais é 67. Isso vira uma equação que relaciona A, B e C.

Por que esta fórmula: A soma das idades é a adição das três idades atuais, então escrevemos A + B + C = 67.

De onde vem cada valor: $A$ = incógnita definida no passo 1 · $B$ = incógnita definida no passo 1 · $C$ = incógnita definida no passo 1 · $67$ = enunciado: soma das idades atuais

Passo 3 — Montar a equação da diferença de idades

O enunciado diz que Celso é 2 anos mais velho que Bruno. Isso dá uma relação entre C e B.

Por que esta fórmula: Se Celso é mais velho, a idade dele é a de Bruno mais 2, então C = B + 2.

De onde vem cada valor: $C$ = incógnita definida no passo 1 · $B$ = incógnita definida no passo 1 · $2$ = enunciado: Celso é 2 anos mais velho que Bruno

Passo 4 — Montar a equação da porcentagem futura

Daqui a 4 anos, as idades de Antony e Bruno aumentam em 4. A relação de porcentagem é entre essas idades futuras, então precisamos somar 4 aos dois lados.

Por que esta fórmula: Daqui a 4 anos, Antony terá A+4 e Bruno terá B+4. A frase 'Antony corresponderá a 75% da idade de Bruno' significa que A+4 é igual a 0,75 vezes (B+4).

De onde vem cada valor: $A$ = incógnita definida no passo 1 · $B$ = incógnita definida no passo 1 · $4$ = enunciado: daqui a 4 anos · $0{,}75$ = enunciado: 75% = 0,75

Passo 5 — Substituir C na equação da soma

Temos três equações e três incógnitas. Para resolver, vamos reduzir o número de incógnitas substituindo C por B+2 na equação da soma.

Por que esta fórmula: Substituir C na soma nos dá uma equação com apenas A e B, que podemos combinar com a equação da porcentagem.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 2 · $B$ = passo 2 · $B + 2$ = passo 3: C = B + 2 · $67$ = passo 2

Passo 6 — Simplificar a equação da soma

A equação do passo anterior tem termos semelhantes que podem ser combinados para ficar mais simples.

Por que esta fórmula: Somamos os termos com B e subtraímos 2 dos dois lados para isolar A + 2B.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 5 · $2B$ = passo 5: B + B · $65$ = passo 5: 67 - 2

Passo 7 — Isolar A na equação da soma

Para comparar com a equação da porcentagem, precisamos de uma expressão para A em função de B.

Por que esta fórmula: Subtraímos 2B dos dois lados para deixar A sozinho.

De onde vem cada valor: $65$ = passo 6 · $2B$ = passo 6

Passo 8 — Isolar A na equação da porcentagem

A equação da porcentagem também relaciona A e B. Vamos isolá-la para igualar as duas expressões de A.

Por que esta fórmula: Distribuímos 0,75 e subtraímos 4 dos dois lados para isolar A.

De onde vem cada valor: $0{,}75B$ = passo 4: 0,75·B · $-1$ = passo 4: 0,75·4 - 4 = 3 - 4 = -1

Passo 9 — Igualar as duas expressões de A

Como ambas as equações dão o valor de A, podemos igualá-las para encontrar B.

Por que esta fórmula: Igualar as duas expressões elimina A e deixa uma equação só com B.

De onde vem cada valor: $65 - 2B$ = passo 7 · $0{,}75B - 1$ = passo 8

Passo 10 — Resolver a equação para B

Agora temos uma equação do 1º grau com B. Vamos isolá-lo.

Por que esta fórmula: Somamos 2B e 1 dos dois lados para juntar os termos com B e os números.

De onde vem cada valor: $66$ = passo 9: 65 + 1 · $2{,}75B$ = passo 9: 0,75B + 2B

Passo 11 — Calcular o valor de B

Dividindo os dois lados por 2,75, obtemos a idade atual de Bruno.

Por que esta fórmula: Para isolar B, dividimos ambos os lados por 2,75.

De onde vem cada valor: $66$ = passo 10 · $2{,}75$ = passo 10

Passo 12 — Calcular a idade de Antony

Com B conhecido, usamos a equação do passo 7 para achar A.

Por que esta fórmula: Substituímos B = 24 na expressão A = 65 - 2B.

De onde vem cada valor: $65$ = passo 7 · $2$ = passo 7 · $24$ = passo 11

Passo 13 — Calcular o ano de nascimento

Como todos já fizeram aniversário em 2024, o ano de nascimento é o ano atual menos a idade atual.

Por que esta fórmula: Se a pessoa já fez aniversário, a idade atual é a diferença entre o ano atual e o ano de nascimento.

De onde vem cada valor: $2024$ = enunciado: estamos em 2024 · $A$ = passo 12: 17

Resposta: Antony nasceu em 2007, alternativa E.