Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Progressões — VUNESP 2024

MatemáticaProgressões
Código
vu088134
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
V - - Assistente Operacional III - Área de Atuação: Conservação e Manutenção
Mateus está seguindo as pegadas que seu pai, Jeremias, deixou em uma trilha. Em virtude da diferença entre os tamanhos das pernas de pai e filho, as pegadas de Jeremias distam 0,75 metro uma da outra, e as de Mateus, 0,60 metro. Mateus pisou, então, em cima da primeira pegada deixada por seu pai na trilha e seguiu percorrendo o mesmo caminho do pai. Em relação a esse ponto, supondo mantidos os padrões das pegadas de ambos, a próxima vez em que Mateus pisará sobre uma pegada deixada por Jeremias será depois de ter caminhado
  1. A3,0 metros.
  2. B3,5 metros.
  3. C4,0 metros.
  4. D4,5 metros.
  5. E5,0 metros.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 3,0 metros.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 3,0 metros (alternativa A).

A ideia por trás

Quando dois eventos se repetem com intervalos regulares, o próximo instante em que ocorrem juntos é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos intervalos. Aqui, as pegadas formam uma sequência: as de Jeremias aparecem a cada 0,75 m e as de Mateus a cada 0,60 m. O encontro acontece numa posição que é múltipla de ambos os espaçamentos, ou seja, no MMC entre 0,75 e 0,60. Para calcular o MMC de números decimais, convertemos para centímetros (multiplicando por 100) e usamos a fatoração em primos. Nesta questão, precisamos achar o MMC de 75 e 60, que é 300 cm, ou seja, 3,0 m.

O que a questão dá

  • espaçamento das pegadas de Jeremias = 0,75 m

  • espaçamento das pegadas de Mateus = 0,60 m

O que queremos: a menor distância (diferente de zero) em que Mateus pisa sobre uma pegada de Jeremias

Passo 1 — Converter metros para centímetros

Para calcular o MMC de números decimais, é mais simples trabalhar com inteiros. Como 1 metro = 100 centímetros, multiplicamos cada valor por 100 para obter números inteiros.

Por que esta fórmula: A conversão é direta: 1 m = 100 cm, então multiplicamos por 100.

0,75 m=0,75×100 cm=75 cm0{,}75 \text{ m} = 0{,}75 \times 100 \text{ cm} = 75 \text{ cm}

De onde vem cada valor: 0,750{,}75 = enunciado: espaçamento das pegadas de Jeremias

0,75×100=75=75 cm0{,}75 \times 100 = 75 = \boxed{75\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e tentar calcular MMC com decimais, o que complica a fatoração.

Passo 2 — Converter o segundo espaçamento

Precisamos dos dois espaçamentos na mesma unidade (centímetros) para calcular o MMC entre eles.

Por que esta fórmula: Mesma conversão: 1 m = 100 cm.

0,60 m=0,60×100 cm=60 cm0{,}60 \text{ m} = 0{,}60 \times 100 \text{ cm} = 60 \text{ cm}

De onde vem cada valor: 0,600{,}60 = enunciado: espaçamento das pegadas de Mateus

0,60×100=60=60 cm0{,}60 \times 100 = 60 = \boxed{60\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a conversão e usar 6 cm em vez de 60 cm.

Passo 3 — Fatorar os números em primos

Para calcular o MMC, precisamos da fatoração em primos de cada número. Isso nos dá os fatores que compõem o múltiplo comum.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para achar o MMC: decompomos cada número e depois tomamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.

75=3×5260=22×3×575 = 3 \times 5^{2} \\ 60 = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 7575 = passo 1 · 6060 = passo 2

75 = 3 × 5²; 60 = 2² × 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração, por exemplo, escrever 75 = 5 × 15 sem decompor o 15.

Passo 4 — Calcular o MMC

O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes encontrados nas fatorações. Isso garante que o resultado seja múltiplo de ambos os números.

Por que esta fórmula: MMC(75, 60) = 2² × 3 × 5², pois pegamos o maior expoente de cada primo que aparece.

MMC=22×3×52MMC = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 222^{2} = fatoração de 60 (passo 3) · 33 = fatoração de 75 e 60 (passo 3) · 525^{2} = fatoração de 75 (passo 3)

MMC=4×3×25=300 cmMMC = 4 \times 3 \times 25 = \boxed{300\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 2², resultando em 75, que não é múltiplo de 60.

Passo 5 — Converter o MMC de volta para metros

O problema pede a distância em metros, então precisamos converter o resultado de centímetros para metros.

Por que esta fórmula: Como 100 cm = 1 m, dividimos por 100.

300 cm=300100 m=3,0 m300 \text{ cm} = \frac{300}{100} \text{ m} = 3{,}0 \text{ m}

De onde vem cada valor: 300300 = passo 4

300÷100=3=3,0 m300 \div 100 = 3 = \boxed{3{,}0\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 100 e responder 300 m.

Resposta: 3,0 metros (alternativa A)

Link permanente: /questoes/vu088134