Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 6 sacos de adubo (alternativa A).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de representar uma parte de um todo: 5% significa 5 em cada 100, ou seja, 0,05. Quando há um desconto, o valor pago é o valor original menos a porcentagem do desconto, ou seja, o valor pago é (100% − 5%) = 95% do valor original. Em forma decimal, isso é 0,95 vezes o valor original. Para recuperar o valor original a partir do valor pago, dividimos o valor pago por 0,95. Depois, usamos equações para relacionar as quantidades e os preços, formando um sistema linear que pode ser resolvido por substituição.

O que a questão dá

• total de sacos = 18

• preço do saco de terra = R$ 20,00

• preço do saco de adubo = R$ 25,00

• desconto = 5%

• valor pago = R$ 370,50

O que queremos: o número de sacos de adubo comprados

Passo 1 — Recuperar o valor total sem desconto

O valor pago (R$ 370,50) já inclui o desconto de 5%. Para montar as equações de custo, precisamos do valor total antes do desconto, porque o desconto foi aplicado sobre esse total. O valor pago é 95% do valor original, então dividimos por 0,95.

Por que esta fórmula: O valor pago é o valor original multiplicado pelo fator de desconto (1 − 0,05 = 0,95). Para achar o original, fazemos a operação inversa: dividir.

De onde vem cada valor: $370{,}50$ = enunciado: valor pago · $0{,}95$ = enunciado: desconto de 5% → 1 − 0,05

Passo 2 — Definir as incógnitas e montar a equação da quantidade

Com o valor total conhecido, precisamos relacionar as quantidades de sacos de terra e adubo. O total de sacos é 18, então a soma das quantidades é 18.

Por que esta fórmula: A equação de quantidade vem diretamente do enunciado: o total de sacos é a soma dos sacos de terra e de adubo.

De onde vem cada valor: $T$ = número de sacos de terra (incógnita) · $A$ = número de sacos de adubo (incógnita) · $18$ = enunciado: total de sacos

Passo 3 — Montar a equação do valor total

Agora usamos o valor total sem desconto (R$ 390,00) para relacionar as quantidades com os preços. Cada saco de terra custa R$ 20 e cada saco de adubo R$ 25, então o custo total é 20 vezes o número de sacos de terra mais 25 vezes o número de sacos de adubo.

Por que esta fórmula: O custo total é a soma dos custos de cada tipo de saco, que é o preço unitário multiplicado pela quantidade.

De onde vem cada valor: $20$ = enunciado: preço do saco de terra · $T$ = passo 2 · $25$ = enunciado: preço do saco de adubo · $A$ = passo 2 · $390$ = passo 1

Passo 4 — Isolar uma incógnita na equação da quantidade

Para resolver o sistema, vamos usar o método da substituição. Da equação T + A = 18, podemos expressar T em função de A, o que permite substituir na outra equação.

Por que esta fórmula: Isolar T é simples: subtraímos A dos dois lados.

De onde vem cada valor: $18$ = passo 2 · $A$ = passo 2

Passo 5 — Substituir T na equação do valor

Com T = 18 − A, substituímos na equação 20T + 25A = 390 para ficar com uma equação só com A, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição é uma técnica para reduzir o número de variáveis: trocamos T pela expressão equivalente.

De onde vem cada valor: $20$ = passo 3 · $18 - A$ = passo 4 · $25$ = passo 3 · $390$ = passo 3

Passo 6 — Resolver a equação para A

Agora temos uma equação do 1º grau com uma incógnita. Vamos simplificar e isolar A para encontrar o número de sacos de adubo.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva e depois isolamos A, passando os termos constantes para o outro lado.

De onde vem cada valor: $360$ = 20 × 18 · $-20A$ = 20 × (−A) · $25A$ = passo 5 · $390$ = passo 5

Passo 7 — Isolar A e calcular

Com a equação simplificada, isolamos A para obter o valor numérico.

Por que esta fórmula: Somamos os termos com A e subtraímos 360 dos dois lados, depois dividimos pelo coeficiente.

De onde vem cada valor: $5A$ = passo 6: −20A + 25A · $30$ = passo 6: 390 − 360

Resposta: 6 sacos de adubo (alternativa A)