Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 108 (alternativa D).

A ideia por trás

Razão e proporção comparam duas grandezas: aqui, o número de homens e o de mulheres. A razão 5/8 significa que para cada 5 homens há 8 mulheres, ou seja, os homens são 5 partes de um total de 13 partes. Quando se adiciona a mesma quantidade aos dois termos de uma razão, a diferença entre eles não muda — é essa invariância que permite montar a segunda equação. Nesta questão, usamos as duas razões para descobrir quantos homens e mulheres havia no início e quantos foram contratados de cada sexo, para então calcular o novo total.

O que a questão dá

• total inicial de funcionários = 52

• razão inicial homens/mulheres = 5/8

• razão final homens/mulheres = 4/5

• mesmo número x de homens e mulheres contratados

O que queremos: o novo total de funcionários após as contratações

Passo 1 — Montar as equações iniciais

Precisamos traduzir o enunciado para a linguagem da matemática. A razão entre homens e mulheres é 5/8, e a soma deles é 52. Essas duas informações formam um sistema que nos permite descobrir quantos homens e quantas mulheres havia no início.

Por que esta fórmula: A razão H/M = 5/8 e a soma H + M = 52 são as duas condições dadas. Juntas, elas determinam H e M.

De onde vem cada valor: $H$ = enunciado: número de homens · $M$ = enunciado: número de mulheres · $5/8$ = enunciado: razão inicial · $52$ = enunciado: total inicial

Passo 2 — Aplicar a propriedade das proporções

Com duas razões iguais, podemos usar a propriedade de que a soma dos antecedentes sobre a soma dos consequentes mantém a mesma razão. Isso nos dá o valor de uma 'parte' e facilita achar H e M.

Por que esta fórmula: Se H/M = 5/8, então H/5 = M/8 = (H+M)/(5+8). Essa é uma propriedade clássica de proporções.

De onde vem cada valor: $H$ = passo 1 · $M$ = passo 1 · $52$ = passo 1 · $13$ = soma dos denominadores 5 e 8

Passo 3 — Calcular homens e mulheres iniciais

Agora que sabemos que cada 'parte' vale 4, multiplicamos pelos numeradores 5 e 8 para obter as quantidades reais.

Por que esta fórmula: Como H/5 = 4, então H = 5 × 4; e M/8 = 4, então M = 8 × 4.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: numerador da razão inicial · $8$ = enunciado: denominador da razão inicial · $4$ = passo 2

H = 20, M = 32

Passo 4 — Montar a equação após as contratações

Depois de contratar x homens e x mulheres, os novos números são H+x e M+x. A razão final é 4/5, então montamos a equação com esses valores.

Por que esta fórmula: A nova razão é (H+x)/(M+x) = 4/5, pois o mesmo x é somado aos dois termos.

De onde vem cada valor: $20$ = passo 3 · $32$ = passo 3 · $x$ = enunciado: número contratado de cada sexo · $4/5$ = enunciado: razão final

Passo 5 — Resolver a equação para x

Precisamos descobrir quantos foram contratados de cada sexo. Multiplicamos cruzado e isolamos x.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: 5(20+x) = 4(32+x). Depois distribuímos e isolamos x.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: numerador da razão final · $20$ = passo 3 · $x$ = enunciado · $4$ = enunciado: denominador da razão final · $32$ = passo 3

Passo 6 — Isolar x e encontrar seu valor

Com a equação montada, resolvemos para x: subtraímos 4x e 100 dos dois lados.

Por que esta fórmula: 100 + 5x = 128 + 4x → subtraia 4x: 100 + x = 128 → subtraia 100: x = 28.

De onde vem cada valor: $100$ = passo 5: 5·20 · $5x$ = passo 5 · $128$ = passo 5: 4·32 · $4x$ = passo 5

Passo 7 — Calcular o novo total

O novo total é o inicial mais duas vezes x, pois foram contratados x homens e x mulheres.

Por que esta fórmula: Total final = (H + x) + (M + x) = H + M + 2x = 52 + 2x.

De onde vem cada valor: $52$ = enunciado: total inicial · $2x$ = passo 6: x homens + x mulheres

Resposta: 108 (alternativa D)