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Questão de Matemática — Frações e Números Decimais — VUNESP 2024

MatemáticaFrações e Números Decimais
Código
vu089535
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação
Mauro e Arnaldo ganharam, cada um deles, X reais. Mauro gastou metade desse valor X, depois gastou a quarta parte do que sobrou e, por fim, gastou a oitava parte do que sobrou. Arnaldo, por sua vez, gastou a quarta parte desse valor X, depois gastou a quarta parte do que sobrou e, por fim, gastou a quarta parte do que sobrou.Ao final desses gastos, a diferença entre o valor que restou nas mãos de Arnaldo e o valor que restou nas mãos de Mauro pode ser representada por:
  1. A3x/64
  2. Bx/16
  3. C5x/64
  4. D3x/32
  5. E7x/64
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 3x/32

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A diferença é 3x/32, portanto a alternativa correta é a letra D..

A ideia por trás

Quando se gasta uma fração de um valor, o que sobra é a fração complementar: gastar 1/2 deixa 1/2, gastar 1/4 deixa 3/4, e assim por diante. Em gastos sucessivos, cada fração incide sobre o saldo anterior, não sobre o valor original — por isso multiplicamos as frações que restam, em vez de somar as frações gastas. Nesta questão, calculamos o que cada um manteve após três etapas e subtraímos os resultados.

O que a questão dá

  • valor inicial de cada um = x reais

  • Mauro: gasta 1/2, depois 1/4 do que sobrou, depois 1/8 do que sobrou

  • Arnaldo: gasta 1/4, depois 1/4 do que sobrou, depois 1/4 do que sobrou

O que queremos: a diferença entre o que restou com Arnaldo e o que restou com Mauro, em função de x

Passo 1 — Calcular o que sobrou para Mauro após o 1º gasto

Mauro começa gastando metade do valor x. O que sobra é a fração complementar: se gastou 1/2, restou 1/2. Precisamos desse saldo para aplicar o próximo gasto.

Por que esta fórmula: A fração que sobra é sempre 1 menos a fração gasta: 1 - 1/2 = 1/2.

S1=x⋅12S_1 = x \cdot \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: xx = enunciado: valor inicial de cada um · 12\frac{1}{2} = enunciado: gastou metade, então sobra metade

S1=x⋅12=x2S_1 = x \cdot \frac{1}{2} = \boxed{\frac{x}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que sobrou 1/2 do total, mas é 1/2 de x, ou seja, x/2.

Passo 2 — Calcular o que sobrou para Mauro após o 2º gasto

Mauro gasta a quarta parte do que sobrou (que era x/2). O que sobra é 3/4 desse valor, porque gastar 1/4 deixa 3/4. Multiplicamos a fração que resta pelo saldo anterior.

Por que esta fórmula: Gastar 1/4 do que se tem deixa 3/4; então o novo saldo é 3/4 do saldo anterior.

S2=S1⋅34S_2 = S_1 \cdot \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: S1S_1 = passo 1: x/2 · 34\frac{3}{4} = enunciado: gastou a quarta parte, então sobra 3/4

S2=x2⋅34=3x8S_2 = \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{4} = \boxed{\frac{3x}{8}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as frações gastas (1/2 + 1/4) em vez de multiplicar as frações que restam.

Passo 3 — Calcular o que sobrou para Mauro após o 3º gasto

Mauro gasta a oitava parte do que sobrou (que era 3x/8). O que sobra é 7/8 desse valor, pois gastar 1/8 deixa 7/8. Multiplicamos novamente.

Por que esta fórmula: Gastar 1/8 do que se tem deixa 7/8; então o novo saldo é 7/8 do saldo anterior.

S3=S2⋅78S_3 = S_2 \cdot \frac{7}{8}

De onde vem cada valor: S2S_2 = passo 2: 3x/8 · 78\frac{7}{8} = enunciado: gastou a oitava parte, então sobra 7/8

S3=3x8⋅78=21x64S_3 = \frac{3x}{8} \cdot \frac{7}{8} = \boxed{\frac{21x}{64}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as frações e somar os gastos, obtendo 7/8 do total.

Passo 4 — Calcular o que sobrou para Arnaldo após o 1º gasto

Arnaldo começa gastando a quarta parte de x. O que sobra é 3/4 de x, pois gastar 1/4 deixa 3/4. Precisamos desse saldo para os próximos gastos.

Por que esta fórmula: A fração que sobra é 1 - 1/4 = 3/4.

A1=x⋅34A_1 = x \cdot \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: xx = enunciado: valor inicial de cada um · 34\frac{3}{4} = enunciado: gastou a quarta parte, então sobra 3/4

A1=x⋅34=3x4A_1 = x \cdot \frac{3}{4} = \boxed{\frac{3x}{4}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e achar que sobrou 1/4, mas é 3/4.

Passo 5 — Calcular o que sobrou para Arnaldo após o 2º gasto

Arnaldo gasta a quarta parte do que sobrou (que era 3x/4). O que sobra é 3/4 desse valor, pois gastar 1/4 deixa 3/4. Multiplicamos a fração que resta pelo saldo anterior.

Por que esta fórmula: Gastar 1/4 do que se tem deixa 3/4; então o novo saldo é 3/4 do saldo anterior.

A2=A1⋅34A_2 = A_1 \cdot \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: A1A_1 = passo 4: 3x/4 · 34\frac{3}{4} = enunciado: gastou a quarta parte, então sobra 3/4

A2=3x4⋅34=9x16A_2 = \frac{3x}{4} \cdot \frac{3}{4} = \boxed{\frac{9x}{16}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as frações gastas (1/4 + 1/4) em vez de multiplicar as frações que restam.

Passo 6 — Calcular o que sobrou para Arnaldo após o 3º gasto

Arnaldo gasta a quarta parte do que sobrou (que era 9x/16). O que sobra é 3/4 desse valor, pois gastar 1/4 deixa 3/4. Multiplicamos novamente.

Por que esta fórmula: Gastar 1/4 do que se tem deixa 3/4; então o novo saldo é 3/4 do saldo anterior.

A3=A2⋅34A_3 = A_2 \cdot \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: A2A_2 = passo 5: 9x/16 · 34\frac{3}{4} = enunciado: gastou a quarta parte, então sobra 3/4

A3=9x16⋅34=27x64A_3 = \frac{9x}{16} \cdot \frac{3}{4} = \boxed{\frac{27x}{64}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no segundo gasto e não aplicar o terceiro, obtendo 9/16.

Passo 7 — Subtrair o que sobrou para Mauro do que sobrou para Arnaldo

A questão pede a diferença entre o que restou com Arnaldo e o que restou com Mauro. Já temos os dois valores em frações de x com o mesmo denominador (64), então podemos subtrair os numeradores diretamente.

Por que esta fórmula: Para subtrair frações com o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e mantemos o denominador.

D=A3−S3D = A_3 - S_3

De onde vem cada valor: A3A_3 = passo 6: 27x/64 · S3S_3 = passo 3: 21x/64

D=27x64−21x64=6x64D = \frac{27x}{64} - \frac{21x}{64} = \boxed{\frac{6x}{64}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair os denominadores também, ou esquecer de simplificar a fração.

Passo 8 — Simplificar a fração da diferença

A fração 6/64 pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 2, resultando em 3/32. Isso facilita a comparação com as alternativas.

Por que esta fórmula: Simplificar uma fração significa dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (o MDC). Aqui, 6 e 64 têm MDC 2.

664=6÷264÷2=332\frac{6}{64} = \frac{6 \div 2}{64 \div 2} = \frac{3}{32}

De onde vem cada valor: 66 = passo 7: numerador da diferença · 6464 = passo 7: denominador da diferença

664=332=3x32\frac{6}{64} = \frac{3}{32} = \boxed{\frac{3x}{32}}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar e marcar a alternativa com 6x/64, que não aparece nas opções.

Resposta: A diferença é 3x/32, portanto a alternativa correta é a letra D.

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