Questão de Matemática — Geometria Plana — VUNESP 2024

Cálculo de Perímetro de Terreno em Forma de L

Gabarito: letra E. O perímetro do terreno é obtido pela soma de todos os seus lados, resultando em 58 metros. A resolução exige decompor a figura em dois retângulos para encontrar as dimensões desconhecidas a partir da área total de 174 m².

Análise do Problema

O terreno possui formato de "L" com ângulos retos. Vamos definir as medidas:

• Seja $x$ a medida do lado AB. Logo, $BC = x + 3$.

• Temos $DE = 5$ m e $EF = 4$ m.

Ao observar a figura, podemos decompor o terreno em dois retângulos. Um retângulo vertical à esquerda (lados $BC$ e $AB$) e um retângulo horizontal à direita (lados $DE$ e $EF$). No entanto, uma forma mais simples é completar o retângulo maior subtraindo o retângulo vazio no canto superior direito.

Seja $x$ o comprimento de $AB$. Então $BC = x + 3$. A área total é dada por: $Area = (BC \times AB) + (DE \times EF) = (x+3) \times x + 5 \times 4 = 174$ $x^2 + 3x + 20 = 174$ $x^2 + 3x - 154 = 0$

Resolvendo a equação de segundo grau por Bhaskara: $\Delta = 3^2 - 4(1)(-154) = 9 + 616 = 625$ $x = \frac{-3 \pm 25}{2}$

Como a medida deve ser positiva, $x = \frac{22}{2} = 11$ m.

Cálculo do Perímetro

Com $AB = 11$ m e $BC = 14$ m, as dimensões externas do terreno são:

• Lado vertical esquerdo ($BC$): 14 m

• Lado horizontal inferior ($AB$): 11 m

• Lado vertical direito ($DE$): 5 m

• Lado horizontal superior ($CD$): $11 + 4 = 15$ m

• Lado vertical interno ($AF$): $14 - 5 = 9$ m

• Lado horizontal interno ($FE$): 4 m

O perímetro é a soma de todos os segmentos do contorno: $P = 14 + 11 + 9 + 4 + 5 + 15 = 58$ m.