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Questão de Matemática — Probabilidade — VUNESP 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
vu090008
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Tecnologia da Informação
O técnico de um time de futebol tem à disposição seis jogadores para jogar na defesa. Em cada jogo, ele escala quatro desses jogadores escolhidos por meio de um sorteio. Dado e Fred são dois desses seis jogadores.A probabilidade de Dado e Fred serem sorteados para o mesmo jogo é igual a:
  1. A3/7
  2. B2/3
  3. C2/5
  4. D3/8
  5. E4/9
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GabaritoC — 2/5

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 2/5 (alternativa C).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando todos os resultados são igualmente prováveis, ela é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Aqui, os casos são as escalações possíveis, que são combinações: a ordem de escolha dos jogadores não importa, pois o time é o mesmo conjunto de pessoas. A combinação C(n,k) conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos de um total de n, sem repetição e sem considerar a ordem. Nesta questão, precisamos contar todas as escalações de 4 jogadores entre 6 (casos totais) e aquelas que incluem Dado e Fred (casos favoráveis), para então calcular a probabilidade.

O que a questão dá

  • 6 jogadores disponíveis

  • 4 jogadores escalados por sorteio

  • Dado e Fred são dois dos seis

O que queremos: a probabilidade de Dado e Fred serem sorteados juntos

Passo 1 — Calcular o total de escalações possíveis

Precisamos saber quantas escalações diferentes existem no total, pois a probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e esse total. Como a ordem dos jogadores não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(6,4) conta de quantas maneiras podemos escolher 4 jogadores entre 6, sem considerar a ordem. É a fórmula certa porque a escalação é um conjunto, não uma sequência.

C6,4=6!4!⋅(6−4)!C_{6,4} = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: seis jogadores disponíveis · 44 = enunciado: quatro jogadores escalados

C6,4=6!4!⋅2!=6⋅52=15C_{6,4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15

C6,4C_{6,4} = 15 escalações possíveis

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (A_{6,4}) em vez de combinação, contando ordens diferentes como casos distintos, o que infla o total.

Passo 2 — Calcular as escalações com Dado e Fred

Agora precisamos contar quantas escalações incluem Dado e Fred. Como eles já estão fixos, restam 2 vagas para preencher com os outros 4 jogadores.

Por que esta fórmula: Depois de fixar Dado e Fred, temos que escolher 2 jogadores entre os 4 restantes. Novamente a ordem não importa, então usamos combinação C(4,2).

C4,2=4!2!⋅(4−2)!C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!}

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: os outros quatro jogadores além de Dado e Fred · 22 = enunciado: as duas vagas restantes na escalação

C4,2=4!2!⋅2!=4⋅32=6C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

C4,2C_{4,2} = 6 escalações favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fixar Dado e Fred e contar combinações que não os incluem, ou usar arranjo para as vagas restantes.

Passo 3 — Calcular a probabilidade

Com o total de casos e os casos favoráveis, aplicamos a definição clássica de probabilidade: dividir os favoráveis pelo total.

Por que esta fórmula: A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, pois todos os sorteios são igualmente prováveis.

P=casos favoraˊveiscasos totaisP = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}

De onde vem cada valor: casosfavoraˊveiscasos favoráveis = passo 2: 6 · casostotaiscasos totais = passo 1: 15

P=615=25=2 /5P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = \boxed{2\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com a probabilidade individual de um jogador (2/3) ou com o produto das individuais (4/9), que não se aplica aqui.

Resposta: 2/5 (alternativa C)

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