Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — VUNESP 2024
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
vu090011
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Tecnologia da Informação
Uma equipe de 8 pessoas trabalha no setor de manutenção de uma empresa. Toda segunda-feira são sorteadas duas dessas pessoas para ficarem de plantão no sábado seguinte, para desempenharem, ambas, a mesma função.O número possível de duplas diferentes como resultado desse sorteio é igual a:
A28
B32
C48
D56
E64
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GabaritoA — 28
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 28 duplas (alternativa A).
A ideia por trás
A análise combinatória estuda maneiras de contar agrupamentos. Quando a ordem dos elementos não altera o grupo formado, usamos a combinação simples. A combinação de n elementos tomados k a k é dada por C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), que conta quantos subconjuntos de tamanho k podemos formar. Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, que é maior por um fator k!. Nesta questão, como as duas pessoas sorteadas desempenham a mesma função, a dupla {A,B} é idêntica a {B,A}, então a ordem não importa — por isso é uma combinação, não um arranjo.
O que a questão dá
total de pessoas = 8
tamanho da dupla = 2
função das duas pessoas = mesma
O que queremos: o número de duplas diferentes possíveis
Passo 1 — Reconhecer que a ordem não importa
Antes de escolher a fórmula, precisamos decidir se a ordem dos elementos altera o resultado. Como as duas pessoas sorteadas têm a mesma função, a dupla formada por Ana e Bruno é exatamente a mesma que a formada por Bruno e Ana. Portanto, a ordem não importa, e isso caracteriza uma combinação simples.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a ordem importa e usar arranjo, obtendo 56 (alternativa D).
Passo 2 — Aplicar a fórmula da combinação
Já sabemos que é uma combinação, então usamos a fórmula C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Ela conta quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de n elementos, sem considerar a ordem. Aqui, n = 8 (total de pessoas) e k = 2 (tamanho da dupla).
Por que esta fórmula: A combinação é a fórmula certa porque a ordem não importa. Se fosse arranjo, multiplicaríamos 8 por 7, mas isso contaria cada dupla duas vezes (A,B e B,A). A combinação divide por k! para eliminar essas repetições.
De onde vem cada valor: = enunciado: 8 pessoas · = enunciado: dupla de 2 pessoas
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por k! e obter 56.
Passo 3 — Calcular o fatorial e simplificar
Agora precisamos calcular o valor numérico. Em vez de expandir todos os fatoriais, podemos simplificar: 8! / (2! · 6!) = (8 · 7 · 6!) / (2 · 6!) = (8 · 7) / 2. Isso evita contas grandes e reduz o risco de erro.
Por que esta fórmula: A simplificação usa o fato de que 6! aparece no numerador e no denominador, então se cancela. Isso é mais rápido e menos propenso a erros do que calcular 8! = 40320 e depois dividir.
De onde vem cada valor: = passo 2: 8! / 6! = 8 × 7 · = passo 2: 2! = 2
NÃO CAIA NESSA!
Calcular 8 × 7 = 56 e não dividir por 2, esquecendo que a ordem não importa.