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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu090145
Banca
VUNESP
Órgão
DESENVOLVE-SP
Ano
2024
Nível
Superior
Um produtor comprou de uma rádio três tempos de programação, para veiculação de um programa sobre bem-estar, um de 2 horas, um de 2 horas e 40 minutos e um de 3 horas e 20 minutos. Esse produtor quer dividir esses três tempos em blocos, cada bloco narrado por um locutor diferente, cada bloco com a mesma duração e que seja a maior duração possível. Sendo assim, o número de locutores que serão necessários para esse programa será
  1. A10.
  2. B11.
  3. C12.
  4. D13.
  5. E14.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 12 locutores (alternativa C).

A ideia por trás

Quando precisamos dividir grandezas em partes iguais de maior tamanho possível, usamos o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles exatamente, sem sobrar resto. Ele representa o maior tamanho de bloco que cabe um número inteiro de vezes em cada grandeza. Para calcular o MDC, fatoramos cada número em primos e multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente. Nesta questão, os tempos precisam ser convertidos para uma unidade comum (minutos) antes de calcular o MDC, pois as durações estão em horas e minutos. Depois de achar o tamanho máximo do bloco, dividimos cada tempo por ele para saber quantos blocos de cada tipo existem, e somamos para obter o total de blocos, que é o número de locutores.

O que a questão dá

  • tempo 1 = 2 horas

  • tempo 2 = 2 horas e 40 minutos

  • tempo 3 = 3 horas e 20 minutos

O que queremos: o número de locutores necessários

Passo 1 — Converter horas para minutos

Para calcular o MDC, precisamos trabalhar com números inteiros na mesma unidade. Como os tempos estão em horas e minutos, vamos transformar tudo em minutos, que é a menor unidade comum. Isso evita frações e facilita a fatoração.

Por que esta fórmula: Cada hora tem 60 minutos, então multiplicamos o número de horas por 60 e somamos os minutos extras.

tmin=h×60+mt_{min} = h \times 60 + m

De onde vem cada valor: hh = enunciado: horas de cada tempo · mm = enunciado: minutos extras de cada tempo

t1=2×60+0=120,t2=2×60+40=160,t3=3×60+20=200=120 ,160e200minutost_1 = 2 \times 60 + 0 = 120, t_2 = 2 \times 60 + 40 = 160, t_3 = 3 \times 60 + 20 = 200 = \boxed{120\ , 160 \text{e} 200 \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter as horas, usando 2, 2,4 e 3,2 como se fossem horas decimais — isso daria MDC errado.

Passo 2 — Fatorar cada tempo em primos

Para achar o MDC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso nos mostra quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base do cálculo do MDC: escrevemos cada número como produto de primos e depois comparamos.

120=23×3×5,160=25×5,200=23×52120 = 2^{3} \times 3 \times 5, 160 = 2^{5} \times 5, 200 = 2^{3} \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 120120 = passo 1 · 160160 = passo 1 · 200200 = passo 1

120=23×3×5,160=25×5,200=23×52120 = 2^{3} \times 3 \times 5, 160 = 2^{5} \times 5, 200 = 2^{3} \times 5^{2}

120120 = fatorações acima

NÃO CAIA NESSA!

Fatorar errado, por exemplo, esquecer o fator 3 em 120 ou usar expoentes incorretos.

Passo 3 — Calcular o MDC

Com as fatorações prontas, o MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente. Isso nos dá a maior duração de bloco que divide todos os tempos exatamente.

Por que esta fórmula: O MDC é definido assim: pegamos cada primo que aparece em todas as fatorações, com o menor expoente, e multiplicamos.

MDC=2menor expoente×5menor expoenteMDC = 2^{menor\ expoente} \times 5^{menor\ expoente}

De onde vem cada valor: 2menor expoente2^{menor\ expoente} = passo 2: expoentes de 2 são 3, 5 e 3, o menor é 3 · 5menor expoente5^{menor\ expoente} = passo 2: expoentes de 5 são 1, 1 e 2, o menor é 1

MDC=23×51=8×5=40=40 minutosMDC = 2^{3} \times 5^{1} = 8 \times 5 = 40 = \boxed{40\ \text{minutos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2^5 × 5^2 = 800, um valor absurdo.

Passo 4 — Dividir cada tempo pelo MDC

Agora que sabemos que cada bloco terá 40 minutos, precisamos descobrir quantos blocos cabem em cada tempo. Isso nos dá o número de blocos por programa.

Por que esta fórmula: O número de blocos é o tempo total dividido pelo tamanho de cada bloco, pois cada bloco tem a mesma duração.

ni=tiMDCn_i = \frac{t_i}{MDC}

De onde vem cada valor: tit_i = passo 1: 120, 160, 200 · MDCMDC = passo 3: 40

n1=120÷40=3,n2=160÷40=4,n3=200÷40=5=3 ,4e5blocosn_1 = 120 \div 40 = 3, n_2 = 160 \div 40 = 4, n_3 = 200 \div 40 = 5 = \boxed{3\ , 4 \text{e} 5 \text{blocos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir o total (480) por 40, obtendo 12, mas esquecer de somar os quocientes individuais — aqui dá o mesmo, mas em outros problemas pode não dar.

Passo 5 — Somar os blocos para achar o total

Cada bloco é narrado por um locutor diferente, então o número total de blocos é exatamente o número de locutores necessários. Somamos os blocos de cada tempo.

Por que esta fórmula: O total de blocos é a soma dos blocos de cada programa, pois são independentes.

total=n1+n2+n3total = n_1 + n_2 + n_3

De onde vem cada valor: n1n_1 = passo 4: 3 · n2n_2 = passo 4: 4 · n3n_3 = passo 4: 5

total=3+4+5=12=12 blocostotal = 3 + 4 + 5 = 12 = \boxed{12\ \text{blocos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos quocientes, ou somar os tempos antes de dividir.

Resposta: 12 locutores (alternativa C)

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