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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu090146
Banca
VUNESP
Órgão
DESENVOLVE-SP
Ano
2024
Nível
Superior
Dois irmãos estão em idade de crescimento. Há um ano a altura do mais velho era 20% a mais do que a altura do mais novo. Hoje, a altura de ambos aumentou em 40 cm e a altura do mais velho é, hoje, 15% a mais do que a altura do mais novo. Hoje a diferença entre as alturas de ambos é igual a
  1. A12 cm.
  2. B15 cm.
  3. C18 cm.
  4. D22 cm.
  5. E24 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 24 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 24 cm (alternativa E).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de comparar grandezas: dizer que algo é 20% maior significa que vale 120% da outra, ou seja, multiplica-se por 1,2. Quando ambos os irmãos crescem a mesma quantidade absoluta (40 cm), a diferença percentual diminui porque a base de comparação (a altura do mais novo) aumentou. Para descobrir a diferença absoluta, precisamos modelar a situação com uma equação, já que temos duas relações entre as alturas em dois momentos diferentes. Nesta questão, usamos a porcentagem para montar uma equação do 1º grau e encontrar a altura inicial do mais novo, o que nos permite calcular as alturas atuais e a diferença pedida.

O que a questão dá

  • altura do mais velho há um ano = 20% a mais que a do mais novo

  • aumento de 40 cm para ambos

  • altura do mais velho hoje = 15% a mais que a do mais novo

O que queremos: a diferença entre as alturas hoje

Passo 1 — Definir a altura do mais novo há um ano

Precisamos de uma variável para representar a altura do irmão mais novo no passado, pois todas as outras alturas serão expressas em função dela. Chamar de x é o ponto de partida para montar as relações.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de definir a variável e tentar resolver de cabeça, o que leva a erros de interpretação.

Passo 2 — Expressar a altura do mais velho há um ano

Como o mais velho era 20% mais alto, sua altura é 120% da do mais novo. Em termos de fração, isso é 1,2 vezes x. Essa expressão será usada na equação.

Por que esta fórmula: Aumentar algo em 20% equivale a multiplicar por 1,2, pois 100% + 20% = 120% = 1,2.

hvelho,antes=1,2⋅xh_{velho, antes} = 1{,}2 \cdot x

De onde vem cada valor: xx = passo 1 · 1,21{,}2 = enunciado: 20% a mais, ou seja, 120%

hvelho,antes=1,2⋅xh_{velho, antes} = 1{,}2 \cdot x
NÃO CAIA NESSA!

Usar 0,2 em vez de 1,2, esquecendo de somar a altura original.

Passo 3 — Escrever as alturas de hoje

Como ambos cresceram 40 cm, somamos 40 a cada altura anterior. Isso nos dá as expressões para as alturas atuais em função de x.

Por que esta fórmula: A altura atual é a altura anterior mais o crescimento absoluto de 40 cm.

hnovo,hoje=x+40ehvelho,hoje=1,2x+40h_{novo, hoje} = x + 40 \quad \text{e} \quad h_{velho, hoje} = 1{,}2x + 40

De onde vem cada valor: xx = passo 1 · 1,2x1{,}2x = passo 2 · 4040 = enunciado: aumento de 40 cm

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 40 a ambos, ou somar apenas a um deles.

Passo 4 — Montar a equação com a relação atual

O enunciado diz que hoje o mais velho é 15% mais alto que o mais novo, ou seja, a altura dele é 1,15 vezes a do mais novo. Igualamos as duas expressões para formar uma equação.

Por que esta fórmula: Se o mais velho é 15% mais alto, então h_velho = 1,15 * h_novo. Substituímos as expressões do passo 3.

1,2x+40=1,15(x+40)1{,}2x + 40 = 1{,}15(x + 40)

De onde vem cada valor: 1,2x+401{,}2x + 40 = passo 3 · 1,151{,}15 = enunciado: 15% a mais · x+40x + 40 = passo 3

1,2x+40=1,15(x+40)1{,}2x + 40 = 1{,}15(x + 40)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar 1,15 por ambos os termos dentro do parêntese.

Passo 5 — Resolver a equação para achar x

Precisamos isolar x para descobrir a altura inicial do mais novo. Isso envolve distribuir, subtrair e dividir.

Por que esta fórmula: Equação do 1º grau: isolamos x de um lado e os números do outro.

1,2x+40=1,15x+46⇒0,05x=6⇒x=1201{,}2x + 40 = 1{,}15x + 46 \Rightarrow 0{,}05x = 6 \Rightarrow x = 120

De onde vem cada valor: 1,15x+461{,}15x + 46 = distribuindo 1,15 em (x+40) · 0,05x0{,}05x = 1,2x - 1,15x · 66 = 46 - 40

1,2x+40=1,15x+46⇒0,05x=6⇒x=1201{,}2x + 40 = 1{,}15x + 46 \Rightarrow 0{,}05x = 6 \Rightarrow x = 120
x=120 cmx = \boxed{120\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração 1,2 - 1,15, ou esquecer de dividir 6 por 0,05.

Passo 6 — Calcular as alturas de hoje

Com x = 120 cm, substituímos nas expressões do passo 3 para obter as alturas atuais.

Por que esta fórmula: Substituição direta nas fórmulas já definidas.

hnovo,hoje=120+40=160ehvelho,hoje=1,2⋅120+40=184h_{novo, hoje} = 120 + 40 = 160 \quad \text{e} \quad h_{velho, hoje} = 1{,}2 \cdot 120 + 40 = 184

De onde vem cada valor: 120120 = passo 5 · 4040 = enunciado · 1,21{,}2 = passo 2

hnovo,hoje=120+40=160ehvelho,hoje=1,2⋅120+40=184=160 cme184cmh_{novo, hoje} = 120 + 40 = 160 \quad \text{e} \quad h_{velho, hoje} = 1{,}2 \cdot 120 + 40 = 184 = \boxed{160\ \text{cm} \text{e} 184 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 1,2 * 120.

Passo 7 — Calcular a diferença entre as alturas

A pergunta pede a diferença entre as alturas hoje. Subtraímos a altura do mais novo da do mais velho.

Por que esta fórmula: Diferença é a subtração entre os dois valores.

Δh=184−160\Delta h = 184 - 160

De onde vem cada valor: 184184 = passo 6 · 160160 = passo 6

Δh=184−160=24 cm\Delta h = 184 - 160 = \boxed{24\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada, resultando em -24 cm.

Resposta: 24 cm (alternativa E)

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