O protetor de tela de um computador foi programado para que, ao ser ativado, toda a tela fique branca. A partir dessa ativação, a cor da tela irá mudar para outras sete cores, que dependem do tempo definido para a ocorrência das três cores básicas azul, amarela ou vermelha. Se não for o tempo definido para a ocorrência de duas ou mais das cores básicas, a tela torna-se azul cada 2 minutos, amarela a cada 3 minutos e vermelha a cada 5 minutos. Quando acontece a simultaneidade de apenas dois desses tempos, a tela se torna verde na ocorrência de azul e amarela, torna-se laranja na ocorrência de amarela e vermelha e torna-se violeta na ocorrência de azul e vermelha. Ao ocorrer a simultaneidade dos três tempos, a tela torna-se preta. Uma cor se mantém na tela até o tempo definido para uma mudança de cor.Hoje o protetor de tela desse computador foi ativado às 8h e continuou ativo até às 8h33. Nesse intervalo, a tela desse computador ficou verde ou violeta durante
A7 minutos.
B8 minutos.
C10 minutos.
D12 minutos.
E13 minutos.
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GabaritoC — 10 minutos.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 21 minutos (nenhuma alternativa corresponde; o gabarito indicado está incorreto).
A ideia por trás
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. Ele serve para prever quando dois eventos periódicos acontecem juntos: se um evento se repete a cada 2 minutos e outro a cada 3, eles coincidem a cada 6 minutos, porque 6 é o menor múltiplo comum de 2 e 3. Aqui, as cores básicas mudam em intervalos regulares, e as cores compostas (verde, laranja, violeta, preta) aparecem exatamente quando dois ou três desses intervalos coincidem.
Para achar os instantes de coincidência, calculamos o MMC entre os períodos. O MMC de números primos entre si é o produto deles: MMC(2,3,5) = 30, então a cada 30 minutos as três cores mudam juntas (tela preta). Para pares: MMC(2,3)=6 (verde), MMC(3,5)=15 (laranja), MMC(2,5)=10 (violeta). Cada cor permanece na tela até a próxima mudança de cor, então a duração de cada ocorrência é a diferença entre o instante da mudança e o instante da próxima mudança.
Esta questão pede para somar os intervalos em que a tela fica verde (azul+amarela) ou violeta (azul+vermelha) dentro de 33 minutos. Precisamos listar os instantes de cada cor básica, identificar as coincidências de pares, e calcular quanto tempo cada uma dura, lembrando de excluir o instante 30, quando as três coincidem e a tela fica preta.
O que a questão dá
período da cor azul = 2 minutos
período da cor amarela = 3 minutos
período da cor vermelha = 5 minutos
intervalo de observação: de 8h00 até 8h33 (33 minutos)
O que queremos: o tempo total, em minutos, em que a tela fica verde ou violeta nesse intervalo
Passo 1 — Listar os instantes de cada cor básica
Para saber quando as cores compostas aparecem, precisamos saber em quais minutos cada cor básica muda. Como o intervalo vai de 0 a 33 minutos, listamos os múltiplos de 2, 3 e 5 até 33.
Esquecer de incluir o minuto 0, mas como a tela começa branca, a primeira mudança é no minuto 2, então não faz diferença.
Passo 2 — Achar os instantes de verde e violeta
Verde ocorre quando azul e amarela coincidem; violeta quando azul e vermelha coincidem. Comparando as listas do passo 1, encontramos os minutos comuns.
verde: 6,12,18,24; violeta: 10,20 (o 30 é preto, pois as três coincidem)
NÃO CAIA NESSA!
Incluir o minuto 30 como verde ou violeta, mas nesse instante as três cores coincidem e a tela fica preta.
Passo 3 — Calcular a duração de cada ocorrência
Cada cor permanece até a próxima mudança. Para saber quanto tempo a tela fica verde ou violeta, subtraímos o instante da mudança do instante da próxima mudança (que pode ser de qualquer cor).