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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu090164
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Lins - SP
Ano
2024
Nível
Médio
Dois rolos de fita de sinalização zebrada, um com 180 m, e outro com 300 m de comprimento de fita, serão divididos em partes, todas com o mesmo comprimento, o maior possível, sem desperdício, para um curso de formação dos novos agentes de trânsito contratados em determinado município.O número de partes que será obtido do rolo com o maior comprimento de fita será igual a
  1. A8.
  2. B6.
  3. C5.
  4. D4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 5 partes (alternativa C).

A ideia por trás

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, deixando resto zero. Ele serve para dividir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível sem sobrar nada. O MDC é encontrado fatorando os números e multiplicando apenas os fatores primos que aparecem em todos eles. Nesta questão, precisamos achar o MDC entre 180 e 300 para saber o comprimento máximo de cada parte, e depois dividir o rolo maior por esse valor.

O que a questão dá

  • rolo 1 = 180 m

  • rolo 2 = 300 m

O que queremos: o número de partes do rolo de 300 m quando dividido no maior comprimento comum possível

Passo 1 — Fatorar 180 e 300 em primos

Para achar o MDC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso mostra quais primos são comuns aos dois.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base do cálculo do MDC: multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente.

180=22×32×5300=22×3×52180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \\ 300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: rolo 1 · 300300 = enunciado: rolo 2

180=22×32×5300=22×3×52180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \\ 300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}

180 = 2²·3²·5; 300 = 2²·3·5²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como parar em 15 e 25 sem dividir por 5.

Passo 2 — Multiplicar os fatores comuns

O MDC é o produto dos fatores primos que aparecem nas duas fatorações, com o menor expoente. Isso garante o maior comprimento que divide ambos.

Por que esta fórmula: MDC = produto dos fatores comuns com menor expoente.

MDC=22×3×5MDC = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1: fator comum com menor expoente (2² em ambos) · 33 = passo 1: fator comum com menor expoente (3¹ em 300) · 55 = passo 1: fator comum com menor expoente (5¹ em 180)

MDC=4×3×5=60 mMDC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2²·3²·5² = 900, errado.

Passo 3 — Dividir o rolo maior pelo MDC

Cada parte terá o comprimento máximo de 60 m. Para saber quantas partes saem do rolo de 300 m, dividimos o comprimento total pelo tamanho de cada parte.

Por que esta fórmula: Número de partes = comprimento total ÷ comprimento de cada parte.

n=30060n = \frac{300}{60}

De onde vem cada valor: 300300 = enunciado: rolo 2 · 6060 = passo 2: MDC

n=30060=5 partesn = \frac{300}{60} = \boxed{5\ \text{partes}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir o rolo menor (180 ÷ 60 = 3) ou somar as partes (3 + 5 = 8) e marcar a alternativa A.

Resposta: 5 partes (alternativa C)

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