A soma dos preços atuais de três produtos A, B e C é igual a R$ 530,00. Se o preço do produto A dobrar, e os preços dos produtos B e C se mantiverem, a soma dos preços dos três produtos passará a ser igual a R$ 680,00. Sabendo que o preço atual do produto C é R$ 20,00 a mais do que o preço atual do produto B, descobrem-se os preços atuais dos produtos A, B e C, e calculando-se o mínimo múltiplo comum desses preços, em reais, obtém-se
A1 800.
B1 500.
C1 200.
D900.
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GabaritoA — 1 800.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a MMC = 1800, alternativa A.
A ideia por trás
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. Para calculá-lo, fatoramos cada número em fatores primos e tomamos cada fator com o maior expoente que aparece. Nesta questão, primeiro precisamos descobrir os preços, que estão escondidos em um sistema de equações: as três frases do enunciado viram três equações, e resolvê-las nos dá os valores de A, B e C. Depois, aplicamos a fatoração para achar o MMC.
O que a questão dá
A + B + C = 530
2A + B + C = 680
C = B + 20
O que queremos: o mínimo múltiplo comum dos preços atuais de A, B e C
Passo 1 — Montar as equações do sistema
O enunciado dá três informações em linguagem comum; para trabalhar com elas matematicamente, precisamos transformá-las em equações. Cada frase vira uma equação: a soma atual, a soma com A dobrado e a relação entre B e C.
Por que esta fórmula: A primeira frase 'a soma dos preços atuais é 530' vira A + B + C = 530. A segunda, 'se o preço de A dobrar e B e C se mantiverem, a soma passa a 680', vira 2A + B + C = 680. A terceira, 'C é 20 a mais que B', vira C = B + 20.
De onde vem cada valor: = enunciado: soma dos preços atuais é R$ 530,00 · = enunciado: se A dobrar, soma passa a R$ 680,00 · = enunciado: C é R$ 20,00 a mais que B
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dobrar A na segunda equação, escrevendo A + B + C = 680 em vez de 2A + B + C = 680.
Passo 2 — Subtrair as duas primeiras equações
Temos duas equações que envolvem A, B e C, e a diferença entre elas elimina B e C de uma vez, deixando só A. Isso é possível porque B e C aparecem com os mesmos coeficientes (1) nas duas.
Por que esta fórmula: Subtrair a primeira equação da segunda: (2A + B + C) - (A + B + C) = 680 - 530. Os termos B e C se cancelam, sobrando A = 150.
De onde vem cada valor: = passo 1: segunda equação · = passo 1: primeira equação · = passo 1: segunda equação · = passo 1: primeira equação
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair na ordem errada (primeira menos segunda) e obter -A = -150, o que ainda dá A = 150, mas confunde se não simplificar o sinal.
Passo 3 — Substituir A na primeira equação
Com A = 150, a primeira equação fica com apenas duas incógnitas, B e C. Isso reduz o problema: agora temos duas equações e duas incógnitas, que dá para resolver.
Por que esta fórmula: Na equação A + B + C = 530, trocamos A por 150: 150 + B + C = 530. Subtraindo 150 dos dois lados, obtemos B + C = 380.
De onde vem cada valor: = passo 1: primeira equação · = passo 2: valor de A
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair 150 dos dois lados, mantendo B + C = 530.
Passo 4 — Substituir C por B + 20
A terceira equação relaciona C com B. Substituindo C por B + 20 na equação B + C = 380, ficamos com uma equação só com B, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: Como C = B + 20, trocamos C na equação B + C = 380: B + (B + 20) = 380. Isso é o método da substituição, que transforma duas incógnitas em uma.
De onde vem cada valor: = passo 3: equação B + C = 380 · = passo 1: C = B + 20 · = passo 3: resultado
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o parêntese e escrever B + B + 20 = 380, o que dá o mesmo, mas pode levar a erro se não somar corretamente.
Passo 5 — Resolver para B
A equação 2B + 20 = 380 tem só uma incógnita; isolando B, descobrimos o preço de B. Depois, com B, achamos C.
Por que esta fórmula: Subtraímos 20 dos dois lados: 2B = 360. Depois dividimos por 2: B = 180.
De onde vem cada valor: = passo 4: resultado · = passo 4: equação 2B + 20 = 380
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 380 por 2 antes de subtrair 20, obtendo B = 190 - 20 = 170, que está errado.
Passo 6 — Calcular C usando a relação com B
Com B = 180, a relação C = B + 20 dá o preço de C diretamente. Agora temos os três preços.
Por que esta fórmula: A terceira equação do sistema diz que C é 20 a mais que B, então C = 180 + 20 = 200.
De onde vem cada valor: = passo 5: B = 180 · = passo 1: C = B + 20
NÃO CAIA NESSA!
Usar C = B - 20, obtendo 160, o que inverte a relação.
Passo 7 — Fatorar os três preços em primos
Para calcular o MMC, precisamos da fatoração de cada número. Fatorar significa escrever o número como produto de primos; isso revela os fatores que o MMC vai combinar.
Por que esta fórmula: Fatoramos 150, 180 e 200 separadamente: 150 = 2 × 3 × 5², 180 = 2² × 3² × 5, 200 = 2³ × 5². Cada fator primo aparece com um expoente.
De onde vem cada valor: = passo 2: A = 150 · = passo 5: B = 180 · = passo 6: C = 200
NÃO CAIA NESSA!
Errar a fatoração, por exemplo, escrever 150 = 2 × 3 × 5 (esquecendo o quadrado do 5).
Passo 8 — Calcular o MMC pelos maiores expoentes
O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes encontrados nas fatorações. Isso garante que o MMC seja divisível por todos os números.
Por que esta fórmula: Dos três números, o maior expoente de 2 é 3 (de 200), o maior de 3 é 2 (de 180), e o maior de 5 é 2 (de 150 e 200). Então MMC = 2³ × 3² × 5² = 8 × 9 × 25 = 1800.
De onde vem cada valor: = passo 7: fatoração de 200 · = passo 7: fatoração de 180 · = passo 7: fatoração de 150 e 200
NÃO CAIA NESSA!
Usar os menores expoentes (que seria o MDC) ou esquecer um fator, como não incluir 3², obtendo 600 ou 1200.