No plano, as retas paralelas q, r e s foram cortadas pelas retas transversais t₁ e t₂ , determinando um triângulo retângulo ABC, conforme mostra a figura, que também indica algumas medidas dos segmentos determinados por essas retas.A medida do lado BC do triângulo é igual a
A8 cm.
B9 cm.
C12 cm.
D15 cm.
E16 cm.
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GabaritoE — 16 cm.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a BC = 16 cm — alternativa E.
A ideia por trás
Triângulos semelhantes são figuras com a mesma forma, mas tamanhos diferentes: eles têm os três ângulos internos iguais, e os lados correspondentes crescem ou diminuem na mesma proporção. Quando retas paralelas cortam duas transversais, elas dividem essas transversais em segmentos proporcionais, criando triângulos semelhantes — é essa propriedade que permite comparar lados de triângulos diferentes.
A razão de semelhança k entre dois triângulos semelhantes é a constante que multiplica cada lado do menor para obter o lado correspondente do maior. Se um lado do triângulo menor mede 8 cm e o lado correspondente do maior mede 16 cm, então k = 16/8 = 2, e todos os outros lados do maior são o dobro dos lados do menor. Essa proporcionalidade vale para todos os pares de lados correspondentes.
Esta questão cobra exatamente essa proporcionalidade: primeiro é preciso reconhecer que o triângulo menor é semelhante ao triângulo ABC, depois usar a razão de semelhança para encontrar o lado BC a partir do lado correspondente do triângulo menor.
O que a questão dá
triângulo retângulo ABC
retas paralelas q, r e s cortadas por transversais t₁ e t₂
cateto AB = 12 cm
cateto do triângulo menor = 8 cm
O que queremos: a medida do lado BC do triângulo ABC
Passo 1 — Achar a hipotenusa do triângulo menor
O triângulo menor tem um cateto de 8 cm e é retângulo. Para compará-lo com o triângulo maior, precisamos conhecer todos os seus lados, e a hipotenusa é o que falta. O Teorema de Pitágoras relaciona os catetos com a hipotenusa em qualquer triângulo retângulo.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Essa é a relação fundamental que permite calcular o terceiro lado quando conhecemos dois.
h = √(8^2 + 6^2)
De onde vem cada valor: = enunciado: cateto do triângulo menor · = constante: cateto do triângulo menor (dado implícito na figura)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar 100 como hipotenusa.
Passo 2 — Calcular a razão de semelhança
Com os lados do triângulo menor conhecidos, podemos compará-lo com o triângulo maior. A razão de semelhança é o fator que transforma um no outro, e ela é a mesma para todos os lados correspondentes.
Por que esta fórmula: A razão de semelhança é a divisão entre um lado do triângulo maior e o lado correspondente do menor. O cateto AB do triângulo maior corresponde ao cateto de 6 cm do menor, pois ambos estão na mesma posição relativa.
De onde vem cada valor: = enunciado: 12 cm · = constante: cateto do triângulo menor (dado implícito na figura)
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a razão, usando 6/12 = 0,5, o que daria todos os lados do maior menores que os do menor.
Passo 3 — Multiplicar o cateto correspondente pela razão
Agora que sabemos que o triângulo maior é o dobro do menor, podemos encontrar o lado BC. Ele corresponde ao cateto de 8 cm do triângulo menor, então basta multiplicar por 2.
Por que esta fórmula: A semelhança garante que todos os lados do triângulo maior são o lado correspondente do menor multiplicado pela razão k. Como BC corresponde ao cateto de 8 cm, usamos essa multiplicação.
De onde vem cada valor: = enunciado: cateto do triângulo menor · = passo 2: 2
NÃO CAIA NESSA!
Usar o cateto de 6 cm em vez do de 8 cm, obtendo 12 cm, que é o valor de AB.
A medida do lado BC do triângulo é igual a