Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1656 livros, que está entre 1600 e 1700. Alternativa D..

A ideia por trás

Frações representam partes de um todo. Quando somamos todas as partes, obtemos o todo. Neste problema, o todo é o total de livros T, e as partes são as frações dos dois primeiros andares mais a quantidade fixa do terceiro. A relação que governa é que a soma das partes é igual ao todo: (3/4)T + (1/9)T + 230 = T. Para resolver, precisamos combinar as frações, o que exige um denominador comum. Aqui, a fração que sobra após somar as duas primeiras corresponde aos 230 livros raros, permitindo encontrar T.

O que a questão dá

• primeiro andar: 3/4 do total

• segundo andar: 1/9 do total

• terceiro andar: 230 livros

O que queremos: o total de livros da biblioteca

Passo 1 — Montar a equação do total

Precisamos traduzir o enunciado em uma equação. Como os três andares juntos formam o total, a soma das frações dos dois primeiros andares mais os 230 livros raros deve ser igual ao total T.

Por que esta fórmula: A equação (3/4)T + (1/9)T + 230 = T expressa que a soma das partes é o todo. É a relação fundamental para problemas de frações de um total.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{4}T$ = enunciado: primeiro andar tem 3/4 do total · $\frac{1}{9}T$ = enunciado: segundo andar tem 1/9 do total · $230$ = enunciado: terceiro andar tem 230 livros · $T$ = total de livros (incógnita)

Passo 2 — Somar as frações com denominador comum

Para simplificar a equação, precisamos somar as frações 3/4 e 1/9. Elas têm denominadores diferentes, então usamos o mínimo múltiplo comum (MMC) para transformá-las em frações equivalentes com o mesmo denominador.

Por que esta fórmula: O MMC de 4 e 9 é 36, pois 4 e 9 são primos entre si. Convertemos cada fração para ter denominador 36: 3/4 = 27/36 e 1/9 = 4/36. Somando os numeradores, obtemos 31/36.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{4}$ = passo 1 · $\frac{1}{9}$ = passo 1 · $\frac{27}{36}$ = 3/4 multiplicado por 9/9 · $\frac{4}{36}$ = 1/9 multiplicado por 4/4

Passo 3 — Substituir a soma na equação

Com a soma das frações calculada, substituímos na equação original para obter uma equação mais simples, com apenas uma fração de T.

Por que esta fórmula: A equação original tinha duas frações de T; agora elas se tornam uma única fração (31/36)T. Isso simplifica a resolução.

De onde vem cada valor: $\frac{31}{36}T$ = passo 2: soma das frações · $230$ = enunciado: terceiro andar · $T$ = total

Passo 4 — Isolar o termo com T

Para encontrar T, precisamos deixar os termos com T de um lado e os números do outro. Subtraímos (31/36)T de ambos os lados para que o T fique sozinho no lado direito.

Por que esta fórmula: Subtrair (31/36)T de ambos os lados mantém a igualdade e isola T. No lado direito, T - (31/36)T = (1 - 31/36)T = (5/36)T.

De onde vem cada valor: $230$ = passo 3 · $\frac{31}{36}T$ = passo 3 · $\frac{5}{36}T$ = 1 - 31/36 = 5/36

Passo 5 — Calcular o total T

Agora temos uma equação simples: 230 é igual a 5/36 do total. Para achar T, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 5/36, que é 36/5.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 36/5 elimina a fração e isola T. Isso é equivalente a dividir por 5/36.

De onde vem cada valor: $230$ = passo 4 · $\frac{36}{5}$ = inverso de 5/36

Resposta: 1656 livros, que está entre 1600 e 1700. Alternativa D.