Joaquim tem duas contas bancárias, X e Y. Há um mês, o saldo da conta X correspondia a 36% do saldo da conta Y. Hoje, cada uma dessas contas tem R$ 400 a mais do que o saldo correspondente de 1 mês atrás, de maneira que o saldo da conta X corresponde a 40% do saldo da conta Y.Então, a diferença atual entre os saldos dessas contas é igual a
AR$ 3.550.
BR$ 3.610.
CR$ 3.720.
DR$ 3.840.
ER$ 3.960.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoD — R$ 3.840.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 3.840,00 (alternativa D).
A ideia por trás
Porcentagem é uma forma de comparar uma parte com um todo: dizer que X é 36% de Y significa que X vale 36 centésimos de Y, ou seja, X = 0,36·Y. Quando os dois valores aumentam na mesma quantia, a porcentagem muda porque o todo (Y) cresce proporcionalmente menos que a parte (X) se os valores iniciais são diferentes. Nesta questão, montamos duas equações com as relações percentuais de antes e de hoje, formando um sistema que revela os saldos antigos e, com eles, os atuais.
O que a questão dá
saldo de X há um mês = 36% do saldo de Y
hoje, cada conta tem R$ 400 a mais
saldo atual de X = 40% do saldo atual de Y
O que queremos: a diferença atual entre os saldos das contas X e Y
Passo 1 — Montar a equação de um mês atrás
Precisamos traduzir o enunciado para a linguagem da matemática. A frase 'X correspondia a 36% do saldo de Y' significa que X é igual a 36 centésimos de Y. Isso vira uma equação que relaciona as duas incógnitas.
Por que esta fórmula: Porcentagem é uma fração de denominador 100: 36% = 36/100 = 0,36. Então 'X é 36% de Y' é o mesmo que X = 0,36·Y.
De onde vem cada valor: = enunciado: saldo da conta X há um mês · = enunciado: saldo da conta Y há um mês · = enunciado: 36%
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de converter 36% para 0,36 e usar 36 na equação, o que daria um resultado absurdo.
Passo 2 — Montar a equação de hoje
Hoje os saldos mudaram: cada um aumentou R$ 400. A nova relação percentual também é dada, então precisamos de uma segunda equação que envolva os saldos atuais, X+400 e Y+400.
Por que esta fórmula: O saldo atual de X é X+400 e o de Y é Y+400. A frase 'X corresponde a 40% de Y' agora vale para os valores atuais, então (X+400) = 0,40·(Y+400).
De onde vem cada valor: = passo 1: X é o saldo antigo, mais 400 do enunciado · = passo 1: Y é o saldo antigo, mais 400 do enunciado · = enunciado: 40%
NÃO CAIA NESSA!
Aplicar o 40% apenas a Y, esquecendo de multiplicar também o 400: escrever X+400 = 0,40Y + 400.
Passo 3 — Substituir X na equação de hoje
Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos a expressão de X da primeira equação na segunda, ficando com uma equação só com Y.
Por que esta fórmula: Como X = 0,36Y, trocamos X por 0,36Y na equação (X+400) = 0,40(Y+400). Isso é o método da substituição.
De onde vem cada valor: = passo 1: X = 0,36Y · = enunciado: acréscimo de R$ 400 · = passo 2: equação de hoje
NÃO CAIA NESSA!
Errar a distributiva: esquecer de multiplicar 400 por 0,40, escrevendo 0,40Y + 400.
Passo 4 — Resolver a equação para achar Y
Agora temos uma equação do primeiro grau. Precisamos isolar Y para descobrir o saldo antigo da conta Y.
Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: 0,40(Y+400) = 0,40Y + 0,40·400 = 0,40Y + 160. Depois, subtraímos 0,36Y e 160 dos dois lados para isolar Y.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3 · = passo 3: distributiva · = passo 3: 0,40·400
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao passar termos de lado: por exemplo, escrever 400 - 160 = 0,40Y + 0,36Y.
Passo 5 — Isolar Y e calcular
Com a equação simplificada, isolamos Y para achar seu valor numérico.
Por que esta fórmula: Subtraímos 0,36Y e 160 de ambos os lados: 400 - 160 = 0,40Y - 0,36Y, resultando em 240 = 0,04Y. Dividindo por 0,04, obtemos Y.
De onde vem cada valor: = passo 4: 400 - 160 · = passo 4: 0,40 - 0,36
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 240 por 0,4 em vez de 0,04, obtendo 600 em vez de 6.000.
Passo 6 — Calcular o saldo antigo de X
Com Y conhecido, usamos a primeira equação para achar X.
Por que esta fórmula: Da equação X = 0,36Y, substituímos Y por 6.000.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar 36 por 6.000 e esquecer de dividir por 100, obtendo 216.000.
Passo 7 — Calcular os saldos atuais
A pergunta é sobre os saldos de hoje, então somamos R$ 400 a cada saldo antigo.
Por que esta fórmula: O enunciado diz que cada conta tem R$ 400 a mais hoje. Então saldo atual = saldo antigo + 400.
De onde vem cada valor: = passo 6: 2.160 · = passo 5: 6.000 · = enunciado
X_{atual} = 2.560, Y_{atual} = 6.400
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 400 a uma das contas.
Passo 8 — Calcular a diferença atual
A diferença entre os saldos atuais é o que o problema pede.
Por que esta fórmula: Diferença é a subtração entre o maior e o menor saldo atual.
De onde vem cada valor: = passo 7: 6.400 · = passo 7: 2.560
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair na ordem errada (X - Y) e obter -3.840, ou usar os saldos antigos (6.000 - 2.160 = 3.840) sem somar 400, o que por coincidência dá o mesmo valor, mas por sorte.