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Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaProblemas
Código
vu090336
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Piracicaba - SP
Ano
2024
Nível
Médio
No dia da inauguração de uma escola de natação, houve a matrícula de 16 adultos e 25 crianças. No dia seguinte à inauguração, houve a matrícula de mais 70 pessoas, entre adultos e crianças, de maneira que a razão entre o total de adultos e o total de crianças matriculados nesses dois dias passou a ser igual a 1/2.O número de crianças que se matricularam nessa escola, nos dois primeiros dias, foi
  1. A49
  2. B55.
  3. C56.
  4. D64.
  5. E74.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 74.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 74 crianças (alternativa E).

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre adultos e crianças é 1/2, significa que, para cada adulto, há duas crianças. Essa razão pode ser representada como uma fração, e para resolver problemas com razões, costumamos montar uma equação igualando a razão dada à razão entre as expressões algébricas das quantidades. Nesta questão, precisamos montar a razão final entre o total de adultos e o total de crianças, considerando as matrículas dos dois dias, e igualá-la a 1/2. A partir daí, resolvemos a equação para encontrar quantos adultos entraram no segundo dia e, com isso, calculamos o total de crianças.

O que a questão dá

  • adultos no 1º dia = 16

  • crianças no 1º dia = 25

  • novas matrículas no 2º dia = 70 pessoas

  • razão final adultos/crianças = 1/2

O que queremos: o total de crianças matriculadas nos dois primeiros dias

Passo 1 — Definir a incógnita para adultos do 2º dia

Precisamos descobrir quantos adultos e quantas crianças entraram no segundo dia. Como o total de novas matrículas é 70, se chamarmos de x o número de adultos, o número de crianças será 70 - x. Isso nos permite montar expressões para os totais.

Por que esta fórmula: Não há fórmula, apenas a definição da incógnita e a relação entre adultos e crianças no segundo dia.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o total de novas matrículas é 70 e tentar usar outra relação.

Passo 2 — Montar as expressões dos totais

Com a incógnita definida, podemos somar as matrículas do primeiro dia com as do segundo para obter o total de adultos e o total de crianças após os dois dias. Esses totais serão usados na razão.

Por que esta fórmula: Total de adultos = adultos do 1º dia + adultos do 2º dia = 16 + x. Total de crianças = crianças do 1º dia + crianças do 2º dia = 25 + (70 - x) = 95 - x.

Atotal=16+xCtotal=25+(70−x)=95−xA_{total} = 16 + x \\ C_{total} = 25 + (70 - x) = 95 - x

De onde vem cada valor: 1616 = enunciado: 16 adultos no 1º dia · xx = passo 1 · 2525 = enunciado: 25 crianças no 1º dia · 70−x70 - x = passo 1: crianças do 2º dia

Atotal=16+xCtotal=25+70−x=95−xA_{total} = 16 + x \\ C_{total} = 25 + 70 - x = 95 - x
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 25 + (70 - x) = 95 - x, e não 45 - x.

Passo 3 — Montar a equação da razão

O enunciado diz que a razão entre o total de adultos e o total de crianças é 1/2. Isso significa que a fração (total de adultos)/(total de crianças) é igual a 1/2. Montamos essa igualdade para poder resolver.

Por que esta fórmula: A razão é uma divisão, então escrevemos a fração com os totais obtidos no passo 2 e igualamos a 1/2.

16+x95−x=12\frac{16 + x}{95 - x} = \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 16+x16 + x = passo 2: total de adultos · 95−x95 - x = passo 2: total de crianças · 1/21/2 = enunciado: razão final

16+x95−x=12\frac{16 + x}{95 - x} = \frac{1}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando crianças sobre adultos, ou usar 2 em vez de 1/2.

Passo 4 — Multiplicar em cruz

Para resolver a equação com frações, multiplicamos em cruz: o numerador de um lado vezes o denominador do outro. Isso elimina as frações e transforma a equação em uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Multiplicação em cruz é a técnica padrão para igualar duas frações: a/b = c/d implica a·d = b·c.

2⋅(16+x)=1⋅(95−x)2 \cdot (16 + x) = 1 \cdot (95 - x)

De onde vem cada valor: 22 = denominador do lado direito (1/2) · 16+x16 + x = numerador do lado esquerdo · 95−x95 - x = denominador do lado esquerdo

2⋅(16+x)=95−x2 \cdot (16 + x) = 95 - x
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas um lado ou esquecer de distribuir o 2.

Passo 5 — Resolver a equação para x

Agora temos uma equação do primeiro grau. Precisamos isolar x para descobrir quantos adultos entraram no segundo dia.

Por que esta fórmula: Distribuímos o 2, juntamos os termos com x de um lado e os números do outro, e dividimos pelo coeficiente de x.

32+2x=95−x3x=63x=2132 + 2x = 95 - x \\ 3x = 63 \\ x = 21

De onde vem cada valor: 3232 = 2·16 · 2x2x = 2·x · 9595 = lado direito · −x-x = lado direito · 6363 = 95 - 32 · 33 = 2 + 1 · 2121 = 63 ÷ 3

32+2x=95−x⇒3x=63⇒x=21=21 adultosno2ºdia32 + 2x = 95 - x \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21 = \boxed{21\ \text{adultos} \text{no} 2º \text{dia}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma algébrica: 2x + x = 3x, e não 2x - x.

Passo 6 — Calcular crianças do 2º dia

Sabendo que entraram 21 adultos no segundo dia, e que o total de novas matrículas foi 70, as crianças do segundo dia são 70 - 21 = 49. Esse valor ainda não é a resposta final, pois falta somar as crianças do primeiro dia.

Por que esta fórmula: O total de novas matrículas é a soma de adultos e crianças do segundo dia, então crianças = total - adultos.

C2=70−xC_2 = 70 - x

De onde vem cada valor: 7070 = enunciado: novas matrículas no 2º dia · xx = passo 5: 21

C2=70−21=49=49 crianc\casno2ºdiaC_2 = 70 - 21 = 49 = \boxed{49\ \text{crian}ç\text{as} \text{no} 2º \text{dia}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e marcar a alternativa A (49), esquecendo de somar as 25 do primeiro dia.

Passo 7 — Somar crianças dos dois dias

A pergunta pede o total de crianças nos dois primeiros dias. Já temos as 25 do primeiro dia e as 49 do segundo, então basta somar.

Por que esta fórmula: Total de crianças = crianças do 1º dia + crianças do 2º dia.

Ctotal=25+49C_{total} = 25 + 49

De onde vem cada valor: 2525 = enunciado: crianças no 1º dia · 4949 = passo 6

Ctotal=25+49=74=74 crianc\casC_{total} = 25 + 49 = 74 = \boxed{74\ \text{crian}ç\text{as}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as 25 do primeiro dia, caindo na pegadinha da alternativa A.

Resposta: 74 crianças (alternativa E)

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