Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — VUNESP 2024

Problema de torneio com dois grupos

Gabarito: letra A — 24 times não se classificaram, calculados a partir das combinações de partidas em cada fase.

O número de partidas entre todos os times de um grupo com $n$ times é $C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2}$. Aplicando aos dados:

• Grupo Os Bons: $\frac{n_B(n_B-1)}{2} = 136 \Rightarrow n_B^2 - n_B - 272 = 0$. Resolvendo: $n_B = \frac{1 + \sqrt{1+1088}}{2} = \frac{1+33}{2} = 17$.

• Grupo Os Melhores: $\frac{n_M(n_M-1)}{2} = 105 \Rightarrow n_M^2 - n_M - 210 = 0$. Resolvendo: $n_M = \frac{1 + \sqrt{1+840}}{2} = \frac{1+29}{2} = 15$.

Total de times na primeira fase: $17 + 15 = 32$.

Na segunda fase, classificam-se $k$ times de cada grupo (mesmo número). Com $2k$ times, o número de partidas é $C(2k,2) = \frac{2k(2k-1)}{2} = k(2k-1)$. Dado que houve 28 partidas:

$k(2k-1) = 28 \Rightarrow 2k^2 - k - 28 = 0 \Rightarrow \Delta = 1+224=225 \Rightarrow k = \frac{1 \pm 15}{4}$. A raiz positiva é $k = \frac{16}{4} = 4$.

Classificaram-se $4$ times de cada grupo, totalizando $8$ times na segunda fase. Os não classificados são $32 - 8 = 24$.

Gabarito: letra A