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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu090379
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Piracicaba - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Em uma competição esportiva, compareceram 576 atletas do estado A, 486 do estado B e 540 do estado C. A organização do evento pretende realizar um desfile em grupos, de modo que haja o maior número possível de grupos. Cada grupo será constituído por atletas dos 3 estados. Os atletas de cada estado deverão ser distribuídos igualmente por grupo. Elaborados os grupos dessa maneira, é correto afirmar que cada grupo contará com um número de atletas igual a
  1. A67.
  2. B72.
  3. C78.
  4. D83.
  5. E89.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 89.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 89 atletas por grupo (alternativa E).

A ideia por trás

Quando precisamos dividir quantidades em grupos iguais e queremos o maior número possível de grupos, usamos o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Ele representa o tamanho máximo de cada grupo (ou o número de grupos, dependendo do que se pergunta). Para encontrá-lo, decompomos cada número em fatores primos e pegamos os fatores comuns com os menores expoentes. Nesta questão, o MDC entre 576, 486 e 540 é 18, que será o número de grupos. Depois, dividimos cada quantidade por esse MDC para saber quantos atletas de cada estado vão em cada grupo, e somamos esses quocientes para obter o total de atletas por grupo.

O que a questão dá

  • atletas do estado A = 576

  • atletas do estado B = 486

  • atletas do estado C = 540

O que queremos: o número de atletas em cada grupo, sabendo que o número de grupos é o maior possível

Passo 1 — Decompor cada número em fatores primos

Para calcular o MDC, precisamos primeiro escrever cada número como produto de fatores primos. Isso revela quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é o método padrão para achar o MDC: ela mostra a 'estrutura' de cada número, permitindo comparar os fatores comuns.

576=26⋅32486=2⋅35540=22⋅33⋅5576 = 2^{6} \cdot 3^{2} \\ 486 = 2 \cdot 3^{5} \\ 540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5

De onde vem cada valor: 576576 = enunciado: atletas do estado A · 486486 = enunciado: atletas do estado B · 540540 = enunciado: atletas do estado C

576=26⋅32486=2⋅35540=22⋅33⋅5576 = 2^{6} \cdot 3^{2} \\ 486 = 2 \cdot 3^{5} \\ 540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 5 na decomposição de 540, ou errar os expoentes.

Passo 2 — Identificar os fatores comuns com menores expoentes

O MDC é formado apenas pelos fatores que aparecem em todos os números, elevados ao menor expoente que aparece. Isso garante que o MDC divida todos eles.

Por que esta fórmula: A regra do MDC: pegar os fatores comuns com os menores expoentes. Os fatores 2 e 3 aparecem em todos; o 5 não aparece em 576 e 486, então não entra.

MDC=21⋅32MDC = 2^{1} \cdot 3^{2}

De onde vem cada valor: 212^{1} = passo 1: menor expoente de 2 entre as decomposições (1 em 486) · 323^{2} = passo 1: menor expoente de 3 entre as decomposições (2 em 576)

MDC=21⋅32=2⋅9=18MDC = 2^{1} \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = \boxed{18}
NÃO CAIA NESSA!

Pegar os maiores expoentes (isso seria o MMC) ou incluir o fator 5.

Passo 3 — Calcular o MDC

Agora que temos os fatores comuns com os menores expoentes, basta multiplicá-los para obter o MDC, que será o número de grupos.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes, como definido no passo anterior.

MDC=2⋅9=18MDC = 2 \cdot 9 = 18

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: fator comum 2^1 · 99 = passo 2: fator comum 3^2

MDC=2⋅9=18=18 gruposMDC = 2 \cdot 9 = 18 = \boxed{18\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 2 × 9, ou achar que o MDC é 54 (por engano).

Passo 4 — Dividir cada quantidade pelo MDC

Com o número de grupos (18), precisamos saber quantos atletas de cada estado vão em cada grupo. Isso é feito dividindo o total de atletas de cada estado pelo número de grupos.

Por que esta fórmula: Se 18 grupos são formados com atletas de cada estado distribuídos igualmente, então cada grupo recebe a quantidade total dividida por 18.

A:576÷18=32B:486÷18=27C:540÷18=30A: 576 \div 18 = 32 \\ B: 486 \div 18 = 27 \\ C: 540 \div 18 = 30

De onde vem cada valor: 576576 = enunciado: atletas do estado A · 486486 = enunciado: atletas do estado B · 540540 = enunciado: atletas do estado C · 1818 = passo 3: MDC

576÷18=32486÷18=27540÷18=30=32 ,27e30atletasporgrupo576 \div 18 = 32 \\ 486 \div 18 = 27 \\ 540 \div 18 = 30 = \boxed{32\ , 27 \text{e} 30 \text{atletas} \text{por} \text{grupo}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir pelo MDC errado (como 54) ou errar a divisão.

Passo 5 — Somar os atletas de cada estado por grupo

Cada grupo é formado por atletas dos três estados, então o total de atletas em um grupo é a soma dos quocientes obtidos.

Por que esta fórmula: O total por grupo é a soma das partes de cada estado, pois cada grupo recebe exatamente esses números.

Total=32+27+30Total = 32 + 27 + 30

De onde vem cada valor: 3232 = passo 4: quociente do estado A · 2727 = passo 4: quociente do estado B · 3030 = passo 4: quociente do estado C

Total=32+27+30=89=89 atletasporgrupoTotal = 32 + 27 + 30 = 89 = \boxed{89\ \text{atletas} \text{por} \text{grupo}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos quocientes ou somar errado.

Resposta: 89 atletas por grupo (alternativa E)

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