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Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2024

MatemáticaProblemas
Código
vu090420
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Santo André - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Um aluno fez uma prova na qual só havia questões de Matemática, Português e Ciências e acertou, no total, 22 questões. O número de questões certas de Português foi uma a mais do que o número de questões certas de Matemática e duas a menos do que as questões certas de Ciências. O número de questões certas de Ciências superou o número de questões certas de Matemática em
  1. A5.
  2. B4.
  3. C3.
  4. D2.
  5. E1.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 3 (alternativa C).

A ideia por trás

Problemas de comparação entre quantidades podem ser transformados em equações. Aqui, as quantidades são os acertos em cada matéria, e as relações 'uma a mais' e 'duas a menos' viram igualdades. A estratégia é escolher uma incógnita (Matemática) e expressar as outras em função dela, usando as relações dadas. Depois, substituímos tudo na equação do total, que é a soma das três. Resolvendo a equação, encontramos o valor de Matemática e, com ele, os demais. A diferença pedida é a subtração entre Ciências e Matemática.

O que a questão dá

  • total de acertos = 22

  • Português = Matemática + 1

  • Português = Ciências - 2

O que queremos: a diferença entre o número de acertos de Ciências e o de Matemática

Passo 1 — Definir as incógnitas

Para transformar o problema em equações, precisamos dar nomes às quantidades desconhecidas. Vamos chamar de M, P e C o número de acertos em Matemática, Português e Ciências, respectivamente.

NÃO CAIA NESSA!

Não definir as incógnitas e tentar resolver de cabeça, o que leva a erros de interpretação.

Passo 2 — Escrever as relações do enunciado

As frases 'uma a mais' e 'duas a menos' indicam igualdades. Precisamos traduzi-las para equações: P = M + 1 e P = C - 2. A segunda também pode ser escrita como C = P + 2, o que será útil.

Por que esta fórmula: Essas são as relações de comparação dadas no texto. 'Uma a mais' significa somar 1, 'duas a menos' significa subtrair 2.

P=M+1eP=C−2P = M + 1 \quad \text{e} \quad P = C - 2

De onde vem cada valor: PP = enunciado: número de acertos de Português · MM = enunciado: número de acertos de Matemática · CC = enunciado: número de acertos de Ciências

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a segunda relação, escrevendo C = P - 2, o que está errado. O correto é P = C - 2, pois Português tem duas a menos que Ciências.

Passo 3 — Expressar C em função de M

Para resolver o sistema, queremos todas as variáveis em função de uma só. Como P = M + 1 e P = C - 2, podemos igualar as duas expressões de P e isolar C.

Por que esta fórmula: Igualando P = M + 1 e P = C - 2, obtemos M + 1 = C - 2. Somando 2 dos dois lados, chegamos a C = M + 3.

C=M+3C = M + 3

De onde vem cada valor: CC = passo 2: P = C - 2 · MM = passo 2: P = M + 1

C=(M+1)+2C = (M + 1) + 2
C=M+3C = \boxed{\text{M} + 3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 2 ao isolar C, resultando em C = M + 1.

Passo 4 — Montar a equação do total

O total de acertos é 22, então a soma M + P + C = 22. Substituímos P e C pelas expressões em função de M para obter uma equação só com M.

Por que esta fórmula: A soma das três quantidades é dada no enunciado. Substituindo P = M + 1 e C = M + 3, a equação fica M + (M + 1) + (M + 3) = 22.

M+P+C=22M + P + C = 22

De onde vem cada valor: MM = passo 1 · PP = passo 2: P = M + 1 · CC = passo 3: C = M + 3

M+(M+1)+(M+3)=22M + (M + 1) + (M + 3) = 22
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de substituir todas as variáveis, deixando a equação com mais de uma incógnita.

Passo 5 — Resolver a equação para M

Agora temos uma equação do primeiro grau. Vamos simplificar e isolar M para descobrir quantas questões de Matemática ele acertou.

Por que esta fórmula: Combinando os termos semelhantes: M + M + M = 3M e 1 + 3 = 4, então 3M + 4 = 22. Subtraindo 4 dos dois lados e dividindo por 3, obtemos M = 6.

3M+4=223M + 4 = 22

De onde vem cada valor: 3M3M = passo 4: M + M + M · 44 = passo 4: 1 + 3

3M+4=223M + 4 = 22
M=6M = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos termos: por exemplo, escrever 2M + 4 = 22.

Passo 6 — Calcular P e C

Com M = 6, usamos as relações anteriores para achar P e C, que serão necessários para a diferença pedida.

Por que esta fórmula: Substituímos M = 6 em P = M + 1 e C = M + 3.

P=M+1,C=M+3P = M + 1, \quad C = M + 3

De onde vem cada valor: MM = passo 5: M = 6 · PP = passo 2: P = M + 1 · CC = passo 3: C = M + 3

P=6+1,C=6+3P = 6 + 1, \quad C = 6 + 3

P = 7, C = 9

NÃO CAIA NESSA!

Usar a relação errada, como C = P - 2, o que daria C = 5.

Passo 7 — Calcular a diferença C - M

A pergunta é 'o número de questões certas de Ciências superou o número de questões certas de Matemática em quanto?', ou seja, queremos C - M.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois números é a subtração do menor do maior. Como C = 9 e M = 6, fazemos 9 - 6.

C−MC - M

De onde vem cada valor: CC = passo 6: C = 9 · MM = passo 5: M = 6

9−6=39 - 6 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular C - P (que é 2) ou P - M (que é 1), trocando a referência.

Resposta: 3 (alternativa C)

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